Bài viết trình bày một số kết quả liên quan đến nguyên lý ánh xạ mở và ánh xạ ngược của ánh xạ đa trị. Các kết quả được ứng dụng nghiên cứu tính điều khiển được của hệ điều khiển hữu hạn chiều. | 6 TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHÚ YÊN MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ÁNH XẠ MỞ ĐA TRỊ VÀ ỨNG DỤNG Phùng Xuân Lễ Tóm tắt Trong bài báo này chúng tôi trình bày một số kết quả liên quan đến nguyên lý ánh xạ mở và ánh xạ ngược của ánh xạ đa trị. Các kết quả được ứng dụng nghiên cứu tính điều khiển được của hệ điều khiển hữu hạn chiều. Các kết quả này đã được đưa ra bởi Frankowska 2 tuy nhiên hầu hết chứng minh vắn tắt hoặc không chứng minh. Ở đây chúng tôi trình bày với chứng minh chặt chẽ và chi tiết. Từ khóa Định lý ánh xạ mở định lý ánh xạ ngược cấp một tính điều khiển được tính tối ưu. 1. Giới thiệu Một trong những vấn đề trung tâm của giải tích biến phân là nghiên cứu tính ổn định nghiệm của tập nghiệm của phương trình y G x hoặc y G x trong trường hợp tổng quát G X 2Y là ánh xạ đa trị khi y hoặc cả G bị nhiễu. Một công cụ quan trọng để nghiên cứu vấn đề này là định lý ánh xạ mở. Quay lại nguyên lý ánh xạ mở cổ điển nổi tiếng của Banach 1930 trong giải tích hàm nói rằng một toán tử tuyến tính liên tục toàn ánh từ một không gian Banach X lên một không gian Banach Y thì biến mỗi tập mở trong X thành một tập mở trong Y . Như đã biết nguyên lý ánh xạ mở Banach cho ánh xạ tuyến tính là một nguyên lý nền tảng trong Giải tích hàm. Nguyên lý này sau đó đã được tổng quát cho những ánh xạ phi tuyến bởi Lyusternik và Graves . Những năm gần đây cùng với sự phát triển của Giải tích Đa trị và Giải tích Biến phân nhằm mục đích ứng dụng vào những bài toán biến phân xuất hiện trong thực tiễn nhiều dạng định lý ánh xạ mở cho ánh xạ đa trị trên một số lớp không gian khác nhau đã được xem xét bởi nhiều tác giả và đạt được nhiều ứng dụng quan trọng trong nhiều lĩnh vực toán học chẳng hạn như trong Lý thuyết Tối ưu và Lý thuyết Điều khiển. 2. Các khái niệm và định lý Các khái niệm liên quan đến phần này mà không nhắc đến trong bài báo chúng ta có thể xem trong 1 2 . Định nghĩa . Cho X Y là hai tập hợp bất kỳ. Ánh xạ G X 2Y cho tương ứng mỗi x X G x là một tập hợp con của Y được gọi là ánh xạ đa trị từ X vào Y
