Đề thi tuyển sinh cao học năm 2001 của ĐH Quy Nhơn. . | Bộ giáo dục và đào tạo Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam Trưòng Đại học sư phạm Quy Nhơn Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học nám 2001 Ngành Toán học Môn thi Giải tích Thòi gian làm bài 180 phút Câu 1. Cho hàm số xác định trên R2 bởi V4 f x y -V2 nếu 0 nêu x2 y2 0 x2 y2 0 Chứng minh rằng a f x y có các đạo hàm riêng liên tục. b fị 0 0 f00 o 0 . Câu 2. Cho f R R là ánh xạ liên tục. Đặt x y jf x j f y j với mọi x y 2 R. Chứng minh rằng a x y là một mêtric trên R khi và chỉ khi f đơn ánh. b R 1Á là không gian mêtric đầy đủ khi và chỉ khi f R là đóng trong R với mêtric thông thưòng. Từ đó suy ra rằng với x y jarctgx j arctgyj thì R 1Á là không gian mêtric không đầy đủ. Câu 3. Chứng minh rằng không gian C a b các hàm số liên tục trên a b là khả ly với mêtric d x y maxix t j y t j 8x y 2 C a b . t2 a b Câu 4. Cho X là không gian định chuẩn n chiều. Chứng minh rằng không gian liên hợp Xn là không gian định chuẩn n chiều đồng phôi tuyến tính với X. Câu 5. Giả sử E C 0 i là không gian Banach với chuẩn kxk sup jx t j t2 0 i F là không gian con của E gồm các hàm số có đạo hàm liên tục trên 0 1 . Xét ánh xạ A F E cho bởi A f f0. 1. Chứng minh rằng a KerA A 1 0 là không gian con đóng của F và A có đồ thị đóng. b A không liên tục. 2. Nêu trên F xác định chuẩn kxk maxjx t j maxjx t j t2 0 1 t2 0 1 8x 2 F hãy chứng minh rằng A là toán tử tuyến tính liên tục. Tính kAk. 1Typeset by Đặng Xuân Cương Cao học 12 Giải tích Đại học Vinh . 2 Bộ giáo dục và đào tạo Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam Trưòng Đại học sư phạm Quy Nhơn Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học nám 2001 Ngành Toán học Môn thi Đại số Thòi gian làm bài 180 phút Câu G là một nhóm Xyclic cấp n sinh bởi phần tử a và H là một nhóm con của G. a Chứng minh rang H là nhóm Xyclic và H có một một phần tử sinh ad với d là một ước số dương nào đó của n. b Cho q là một ước số dương nào đó của n. Chứng minh rằng G có duy nhất một nhóm con cấp q. c Cho m và k là những số nguyên dương. Xét nhóm
