Bài giảng "Đại số tuyến tính: Giá trị riêng và vec-tơ riêng" cung cấp cho người học các kiến thức: Giá trị riêng, vec-tơ riêng, không gian riêng; ma trận chéo hóa được; ma trận trực giao. | Giá trị riêng và vec-tơ riêng Lê Xuân Thanh Nội dung 1 Không gian riêng của ma trận và tự đồng cấu 2 Chéo hóa ma trận 3 Chéo hóa trực giao Ma trận trực giao Chéo hóa ma trận đối xứng Không gian riêng của ma trận và tự đồng cấu Nội dung 1 Không gian riêng của ma trận và tự đồng cấu 2 Chéo hóa ma trận 3 Chéo hóa trực giao Ma trận trực giao Chéo hóa ma trận đối xứng Không gian riêng của ma trận và tự đồng cấu Giá trị riêng vec-tơ riêng không gian riêng Cho A Mn n và tự đồng cấu tuyến tính T Rn Rn v 7 Av. Nếu tồn tại λ R và x Rn 0 sao cho Ax λx thì λ được gọi là một giá trị riêng của ma trận A hay tự đồng cấu T và x được gọi là một vec-tơ riêng của ma trận A hay tự đồng cấu T tương ứng với λ. Nếu λ là một giá trị riêng của A thì tập hợp 0 x x là một vec-tơ riêng A tương ứng với λ được gọi là không gian riêng của ma trận A hay tự đồng cấu T tương ứng với λ. Không gian riêng của ma trận và tự đồng cấu Phương pháp tính Cho A là một ma trận cỡ n n. Giả sử λ là một giá trị riêng của A. Khi đó tồn tại x Rn 0 sao cho Ax λx hay tương đương λIn A x 0. Do x ̸ 0 nên ta có det λIn A 0. Phương trình này được gọi là phương trình đặc trưng của ma trận A. Như vậy Giá trị riêng của A là nghiệm λ của phương trình đặc trưng của A. Mỗi vec-tơ riêng của A tương ứng với λ là một nghiệm x ̸ 0 của λIn A x 0. Không gian riêng của A tương ứng với λ là tập nghiệm của λIn A x 0. Không gian riêng của ma trận và tự đồng cấu Ví dụ Câu hỏi Tìm các giá trị riêng và không gian riêng tương ứng của ma trận 1 0 A . 0 1 Trả lời Phương trình đặc trưng của A là λ 1 0 det λI2 A 0 0 λ 1 λ 1 0. 0 λ 1 Ta suy ra các giá trị riêng của A là λ1 1 và λ2 1. Với λ1 1 ta có 0 0 t λ1 I2 A x 0
