Việc ôn tập và hệ thống kiến thức với Đề thi chọn HSG Quốc gia THPT môn Toán năm 2020-2021 có đáp án - Bộ Giáo dục và Đào tạo được chia sẻ dưới đây sẽ giúp bạn nắm vững các phương pháp giải bài tập hiệu quả và rèn luyện kỹ năng giải đề thi nhanh và chính xác để chuẩn bị tốt nhất cho kì thi sắp diễn ra. Cùng tham khảo và tải về đề thi này ngay bạn nhé! | Lời giải và bình luận đề thi VMO 2020 Nguyễn Tăng Vũ - Lê Phúc Lữ - Nguyễn Công Thành 1 Đề thi ngày 1 ngày 25 12 2020 1 Bài 1 5 điểm . Cho dãy số thực xn có x1 0 và xn 1 3x2n 2nx3n với mọi 2 n 1. a Chứng minh lim xn 0. b Với mỗi n 1 đặt yn x1 2x2 nxn . Chứng minh rằng dãy yn có giới hạn hữu hạn. Bài 2 5 điểm . Tìm tất cả các hàm số f R R thỏa mãn f x f y f xy 1 xf y yf x với mọi số thực x y. Bài 3 5 điểm . Cho tam giác nhọn không cân ABC có trực tâm H và D E F lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh A B C. Gọi I là đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF với tâm I và K J lần lượt là trung điểm BC EF . Cho HJ cắt lại I tại G GK cắt lại I tại L. a Chứng minh rằng AL vuông góc với EF . b Cho AL cắt EF tại M IM cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác IEF tại N DN cắt AB AC lần lượt tại P Q. Chứng minh rằng P E QF AK đồng quy. Bài 4 5 điểm . Với số nguyên n 2 gọi s n là tổng các số nguyên dương không vượt quá n và không nguyên tố cùng nhau với n. n a Chứng minh s n n 1 φ n trong đó φ n là số các số nguyên dương 2 không vượt quá n và nguyên tố cùng nhau với n. b Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên n 2 thỏa mãn s n s n 2021 . 2 Đề thi ngày 2 ngày 26 12 2020 Bài 5 6 điểm . Cho đa thức P x a21 x21 a20 x20 a1 x a0 có các hệ số thuộc 1011 2021 . Biết rằng P x có nghiệm nguyên và c là một số dương sao cho ak 2 ak c với mọi k 0 1 . . . 19 . a Chứng minh rằng P x có đúng một nghiệm nguyên. 1 Lời giải và bình luận đề thi VMO 2020 10 a2k 1 a2k 2 440c2 . P b Chứng minh k 0 Bài 6 7 điểm . Một học sinh chia tất cả 30 viên bi vào 5 cái hộp được đánh số 1 2 3 4 5 sau khi chia có thể có hộp không có viên bi nào . a Hỏi có bao nhiêu cách chia các viên bi vào các hộp hai cách chia là khác nhau nếu có một hộp có số bi trong hai cách chia là khác nhau b Sau khi chia học sinh này sơn 30 viên bi đó bởi một số màu mỗi viên được sơn đúng một màu một màu có thể sơn cho nhiều viên bi sao cho không có 2 viên bi nào trong cùng một hộp có màu giống nhau và từ hai hộp bất kì không thể chọn ra được 8
