Mục đích chính của luận văn này là trình bày về Định lý Carmichael về sự tồn tại ước nguyên thủy trong dãy Lucas thực. Cụ thể, luận văn được chia làm ba chương: Các kiến thức chuẩn bị về đa thức chia đường tròn và số nguyên đại số; dãy hồi quy bậc hai; Phát biểu và chứng minh Định lý Carmichael về sự tồn tại ước nguyên thủy trong dãy Lucas thực, định lý Zsigmondy liên quan. | ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN NGỌC ÁNH DÃY HỒI QUY BẬC HAI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN NGỌC ÁNH DÃY HỒI QUY BẬC HAI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp Mã số 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. NGUYỄN DUY TÂN Thái Nguyên - 2016 i Mục lục Lời mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 3 Đa thức chia đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Căn đơn vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Đa thức chia đường tròn . . . . . . . . . . . . . . 5 Sơ lược về số nguyên đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 Dãy hồi quy bậc hai 10 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Một số ví dụ về dãy hồi quy bậc hai . . . . . . . . . . . . 12 Dãy Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Dãy Mersenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Dãy Lucas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Ước nguyên tố của số hạng trong dãy Lucas . . . . 13 3 Định lý ước nguyên thủy 20 Định lý Carmichael . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Một điều kiện đủ về tồn tại ước nguyên thủy . . . . 21 Chứng minh Định lý Carmichael . . . . . . . . . . 25 Định lý Zsigmondy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Một số bài tập ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 1 Lời mở đầu Dãy Lucas thực là dãy được định nghĩa theo công thức truy hồi như sau u0 0 u1 1 . . . un 2 a1 un 1 a2 un ở đây a1 a2 6 0 a1 và a2 là các số nguyên nguyên tố cùng nhau thỏa mãn α n α2n a21 4a2 gt 0. Một cách tương đương ta có thể định nghĩa un 1 n α1 α2 0 với α1 α2 là nghiệm thực phân biệt của đa thức đặc trưng f X X 2 a1 X a2 . Một ví dụ quan trọng về dãy Lucas thực là dãy Fibonacci Fn n 0 F0 0 F1 1 Fn 2 Fn 1 Fn n 0. Cho un là một dãy Lucas thực như trên. Dễ thấy un là .
