Mục đích của đề tài là tìm hiểu về chứng minh của kết quả này nói riêng và tìm hiểu về mối liên hệ giữa nửa nhóm số dạng S(p, q) và đa thức chia đường tròn nói chung. Theo đó, luận văn có trình bày hai chứng minh cho kết quả cổ điển nói trên, trong phiên bản bao gồm cả trường hợp cặp (p,q) không nhất thiết nguyên tố (xem Định lý ), đồng thời có đưa ra một vài hệ quả. | ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC o0o LÊ THỊ NGỌC BÍCH NỬA NHÓM SỐ VÀ ĐA THỨC CHIA ĐƯỜNG TRÒN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC o0o LÊ THỊ NGỌC BÍCH NỬA NHÓM SỐ VÀ ĐA THỨC CHIA ĐƯỜNG TRÒN Chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp Mã số 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. NGUYỄN DUY TÂN Thái Nguyên - 2017 1 Mục lục Lời nói đầu 2 1 Nửa nhóm số 6 Một số định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Tập Apéry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Mối liên hệ giữa nửa nhóm số và đa thức bù trừ 16 Đa thức chia đường tròn và đa thức bù trừ . . . . . . . . . . 16 Định lý chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Đa thức bù trừ nhị phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3 Một vài ứng dụng 27 Nửa nhóm số đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Mọi nửa nhóm số với chiều nhúng 2 là đối xứng . . . . . . . 29 Phân bố gián đoạn và độ gián đoạn . . . . . . . . . . . . . . 30 Độ gián đoạn cực đại trong đa thức chia đường tròn nhị phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Tổng Sylvester và số Bernoulli . . . . . . . . . . . . . 35 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 2 Lời nói đầu Ta xét tập S S 3 7 gồm các tổ hợp tuyến tính nguyên không âm của 3 và 7 tức là S 3u 7v u v Z 0 0 3 6 7 9 10 12 13 14 15 16 . . . . Khi đó S là một ví dụ của nửa nhóm số S tập con của Z 0 mà đóng với phép cộng và Z 0 S là tập hữu hạn. Đối với nửa nhóm số S S 3 7 ta liên kết với nó một chuỗi lũy thừa hình thức sau đây gọi là chuỗi Hilbert của S X HS x xs 1 x3 x6 x7 x9 x10 x12 x13 x14 Z x . x S Ta nhân chuỗi HS x với 1 x ta sẽ nhận được một đa thức gọi là đa thức nửa nhóm của S PS x 1 x HS x 1 x 1 x3 x6 x7 x9 x10 1 x x12 x13 x14 1 x3 x6 x7 x9 x10 x x4 x7 x8 x10 x11 x12 1 x x3 x4 x6 x8 x9 x11 x12 . Bằng tính toán trực tiếp ta kiểm tra được đẳng thức đáng ngạc nhiên sau 3 PS x 1 x x3 x4 x6
