Đề thi năng khiếu môn Toán 10 năm 2020-2021 có đáp án - Trường THPT chuyên Nguyễn Trãi (Lần 5) được chia sẻ nhằm giúp các bạn học sinh ôn tập, làm quen với cấu trúc đề thi và các dạng bài tập có khả năng ra trong bài thi sắp tới. Cùng tham khảo và tải về đề thi này để ôn tập chuẩn bị cho kì thi sắp diễn ra nhé! Chúc các bạn thi tốt! | SỞ GD-ĐT HẢI DƯƠNG ĐỀ THI NĂNG KHIẾU LẦN THỨ NĂM Trường THPT chuyên Nguyễn Trãi NĂM HỌC 2020-2021 Môn Toán 10 Thời gian làm bài 180 phút 2 x 2 x y 1 x y 1 3 2 Câu 1. 2 điểm Giải hệ phương trình x 2 y 1 4 Câu 2. 1 5 điểm Tìm số nguyên dương n sao cho tồn tại hai số nguyên tố p r thỏa mãn n p p 2 p 1 r 2r 1 Câu 3. 1 5 điểm Tìm đa thức P x hệ số thực thỏa mãn P 0 P 1 P 2 và P P x P x 2 Câu 4. 3 điểm Cho tam giác ABC cân tại A có H M lần lượt là trung điểm của BC AC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCM cắt đoạn AH tại D và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD cắt đoạn BM tại K . Gọi I là giao điểm của AK với BD và E là giao điểm của CI với BM .Chứng minh rằng a Tam giác AKC vuông. b I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABE Câu 5. 2 điểm Cho một bảng ô có 2012 2012 ô. Mỗi ô điền một dấu . Thực hiện phép biến đổi mỗi lần đổi dấu toàn bộ một hàng hoặc một cột của bảng thành và thành a Hỏi sau một số phép biến đổi có thể thu được đúng 1 dấu hay không b Hỏi sau một số phép biến đổi có thể thu được đúng 18 dấu hay không HƯỚNG DẪN CHẤM 10 TOÁN Câu 1 2 x 2 x y 1 x y 1 1 2 2 x y R x 2 y 1 4 2 Điều kiện x 2 y 1 Biến đổi phương trình 1 ta được x 2 2 2 x y 1 0 y 2 x 1 Thế vào phương trình 2 ta được x 2 2 x 4 3 Bình phương 3 ta có 2 2x x 2 14 3x 4 Bình phương 4 và giải ta được x 2 y 3. Câu 2 Xét trường hợp p 3 . Khi đó 3 p 1 và p p 2 p 1 p p 2 1 p 2 p p 1 p 1 p 2 2 mod 3 Lại có nếu r 0 1 mod3 thì r 2r 1 0 mod3 còn nếu r 2 mod3 thì r 2r 1 1 mod3 . Như vậy không có trường hợp nào mà r 2r 1 2 mod3 hay nói cách khác p 3 . Thay vào ta có 15 r 2r 1 . Phương trình này không có nghiệm nguyên loại . Vậy không tồn tại số tự nhiên n thỏa mãn Câu 3 Xét đa thức P x c thì ta có c c 2 c 0 1 Xét deg P x n 1. Khi đó xét bậc của P P x P x 2 ta được n2 2n n 2 . Suy ra P x ax 2 bx c Giả sử P 0 P 1 P 2 m . Khi đó ax 2 bx c m 0 có ba nghiệm x 0 1 2 phân biệt mâu thuẫn . Như vậy P x 0 P x 1 . Câu 4 Tự vẽ hình a Ta có AKM 180 AKB 1 180 ADB BDH BDC 2 1 1 BMC AKM KAM 2 2 AKM KAM hay AMK cân tại M MA MK MC .
