Trong các kì thi học sinh giỏi toán các cấp, các bài toán liên quan tới đa thức và phân thức với hệ số nguyên (ta gọi chung là phân thức sinh bởi số tự nhiên) thường xuyên được đề cập. Những dạng toán này thường được xem là thuộc loại khó cần các kiến thức sâu sắc về số học kết hợp với các kiến thức về đa thức và phân thức thường không nằm trong chương trình chính thống của chương trình toán bậc trung học phổ thông. Luận văn sẽ tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này. | ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC -------------- ------------- NGUYỄN KIM THU MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ CỦA CÁC HÀM PHÂN THỨC SINH BỞI SỐ TỰ NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC -------------- ------------- NGUYỄN KIM THU MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ CỦA CÁC HÀM PHÂN THỨC SINH BỞI SỐ TỰ NHIÊN Chuyên ngành Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số 8 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC Xác nhận . Nguyễn Văn Mậu THÁI NGUYÊN - 2018 i Mục lục MỞ ĐẦU iii 1 Phân thức hữu tỷ với hệ số nguyên 1 . Tính chất cơ bản của đa thức với hệ số nguyên . . . . . . . 1 . Phân thức hữu tỉ với hệ số nguyên và phân thức nhận giá trị hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 . Biểu diễn đơn vị thành tổng của các phân số Ai Cập với mẫu số nguyên dương đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 Các phương pháp giải toán cực trị dạng phân thức sinh bởi số hữu tỷ 12 . Một số phương pháp giải bài toán cực trị của đa thức và phân thức hữu tỷ với hệ số nguyên . . . . . . . . . . . . . 12 . Phương pháp so sánh bậc hai . . . . . . . . . . . . 12 . Phương pháp so sánh phân thức dạng bậc hai trên bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 . Phương pháp tìm cực trị với ràng buộc theo tổng các số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 . Sử dụng phân thức chính quy giải các bài toán cực trị liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3 Một số dạng toán liên quan 32 . Một số dạng toán cực trị trên tập số nguyên . . . . . . . . 32 . Một số dạng toán về số tự nhiên từ các đề thi Olympic . . 38 KẾT LUẬN 44 ii TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 iii MỞ ĐẦU Chuyên đề về đa thức và phân thức là một chuyên đề rất quan trọng ở bậc trung học phổ thông và trung học cơ sở. Các tính chất của đa thức và phân thức liên quan chặt chẽ với các tính chất của số nguyên và số hữu tỷ. Một trong các phương pháp khảo sát đa thức và
