Mục đích của luận văn là tìm hiểu mối liên hệ giữa đa thức cực tiểu Yn(x) của cos 2p/n với các đa thức Chebysev. Thông qua các mối liên hệ này, chúng tôi trình bày phương pháp tìm đa thức cực tiểu Yn(x) và tính hệ số tự do của các đa thức cực tiểu này. Mời các bạn cùng tham khảo. | ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ---------------- --------------- TÔ DUY HIỂN 2π ĐA THỨC CỰC TIỂU CỦA COS n LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ---------------- --------------- TÔ DUY HIỂN 2π ĐA THỨC CỰC TIỂU CỦA COS n Chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp Mã số 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. ĐOÀN TRUNG CƯỜNG THÁI NGUYÊN - 2018 i Mục lục Lời nói đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 3 Đa thức Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Đa thức chia đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Đa thức cực tiểu của cos 2π n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Đa thức cực tiểu của cos 2π n và đa thức Chebyshev 20 Công thức hồi quy liên hệ giữa đa thức Chebyshev và đa thức cực tiểu của cos 2π n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Phân tích nhân tử của đa thức Chebyshev theo các đa thức Ψn x 27 Hệ số tự do của đa thức cực tiểu của cos 2π 3 n 37 Trường hợp n lẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Trường hợp n chẵn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Kết luận 50 Tài liệu tham khảo 51 1 Lời nói đầu Với mỗi số nguyên dương n e2πi n là nghiệm của một đa thức chia đường tròn nên là một số đại số. Do đó cos 2π 1 2πi n n 2 e e 2πi n là một số đại số. Nói cách khác cos 2π n là nghiệm của một đa thức với hệ số hữu tỷ nào đó. Việc tìm đa thức cực tiểu Ψn x của cos 2π n là một câu hỏi tự nhiên đã và đang được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu. Nghiên cứu đầu tiên về đa thức cực tiểu Ψn x được thực hiện bởi D. H. Lehmer vào năm 1933 ông đã đưa ra phương pháp để xây dựng các đa thức Ψn x từ đa thức chia đường tròn. Năm 1993 W. Watkins và J. Zeitlin đưa ra một phương pháp khác để tìm đa thức cực tiểu Ψn x nhờ sử dụng các đa thức Chebychev loại I. Sau đó D. Surowski và P. McCombs chứng minh lại các kết quả này bằng một phương pháp khác và đưa ra công thức cụ thể của các đa thức cực tiểu của cos .
