Theo Liouville, nhiều công thức, định lí số học được đưa ra bởi các nhà toán học như Jacobi, Kronecker và các nhà toán học khác phải tuân theo một nguyên lý số học cơ bản. Ví dụ, với công thức về số cách biểu diễn một số nguyên dương thành tổng của 4 số bình phương, mà được suy ra từ công trình của Jacobi về hàm Elliptic, có thể được chứng minh hoàn toàn bởi các kiến thức số học cơ bản. | ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC o0o VŨ THỊ HƯƠNG ĐỒNG NHẤT THỨC LIOUVILLE VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp Mã số 8460113 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. TS. NÔNG QUỐC CHINH Thái Nguyên 04 2019 i Mục lục Bảng ký hiệu ii Mở đầu 1 Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị 3 Hàm số lẻ hàm số chẵn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Một số tính chất cơ bản của hàm số lẻ hàm số chẵn . . . . . . . . 4 Số nguyên tố và dạng toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Dạng toàn phương ba biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Phương trình u2 dδ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Chương 2. Đồng nhất thức Liouville 17 Định lí Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Một số hệ quả của đồng nhất thức Liouville . . . . . . . . . . . . . 25 Chương 3. Một vài ứng dụng của định lí Liouville 30 Biểu diễn một số nguyên thành tổng của 8 số bình phương . . . . 30 Ứng dụng của định lí Liouville cho hàm số lẻ . . . . . . . . . . . . 39 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 ii Bảng ký hiệu Q Dạng toàn phương Q x y Dạng toàn phương 2 biến x y Q x y z Dạng toàn phương 3 biến x y z F x y z Hàm ba biến x y z σ n Hàm tổng các ước của n σ n Hàm tổng các ước của n mà ước liên hợp của chúng là lẻ σr n Hàm tổng lũy thừa bậc r của các ước của n R n Tập tất cả các biểu diễn số nguyên của n bởi Q Rs n Số cách biểu diễn n thành tổng của s số bình phương Cna Số tổ hợp chập a của b phần tử b a Số tổ hợp chập a của n phần tử n d δ Các số nguyên dương u Số nguyên 1 Mở đầu Trong danh sách mười tám bài báo được xuất bản giữa những năm 1858 và 1865 Liouville đã khám phá và giới thiệu một phương pháp rất đặc biệt và hiệu quả về lý thuyết số mà từ đó có thể suy ra được rất nhiều kết quả. Ngày nay chúng ta gọi các kết quả này là các đồng nhất thức Liouville. Các đồng nhất thức này bao hàm nội dung phát biểu của rất nhiều định lí số học. Kết quả về vấn đề .
