Nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 của giáo trình môn học Toán kinh tế cung cấp cho người học những nội dung kiến thức về toán xác suất và thống kê toán. Mời các bạn cùng tham khảo để biết thêm các nội dung chi tiết. | Chương 3 Toán xác suất 1. Giải tích tổ hợp . Tính giai thừa hoán vị a. Tính giai thừa Số đếm đƣợc hình thành từ xa xƣa trong lịch sử. Khi toán học phát triển một số nhà toán học khi làm toán lại quan tâm đến tích của nh ng số đếm đầu tiên nhƣ 1 x 2 1 x 2 x 3. Ngƣời ta gọi tích của n số đếm đầu tiên là n giai thừa kí hiệu là n . Ví dụ 2 1 x 2 2 3 1 x 2 x 3 6 Dựa vào khái niệm giai thừa ta thấy n 1 n 1 x n . Chẳng hạn với n 4 thì 5 5 x 4 . Thật vậy 5 1 x 2 x 3 x 4 x 5 còn 5 x 4 5 x 1 x 2 x 3 x 4 . Do đó 5 5 x 4 . Ngƣời ta gọi n 1 n 1 x n là một công thức truy hồi. Muốn tính giai thừa của một số ta tính theo giai thừa của số bé hơn. Biết 4 24 muốn tính 6 ta có thể làm nhƣ sau 5 5 x 4 5 x 24 120 6 6 x 5 6 x 120 720. Công thức giai thừa xuất hiện nhiều trong toán nhƣ hoán vị tổ hợp chỉnh hợp lý thuyết số giới hạn số nguyên tố hay nh ng khai triển toán học theo các chuỗi số. Chẳng hạn số cách xếp hàng ngang 3 bạn để chụp ảnh gọi là một hoán vị của 3 chính là 3 6. Ví dụ với 3 bạn A B C thì 6 cách xếp hàng đó là ABC ACB BAC BCA CAB CBA. Với ngôi sao 5 cánh thì số đoạn thẳng nối 2 điểm đƣợc gọi là một tổ hợp 2 của 5. Công thức tính là 5 2 x 5 - 2 hay 5 2 x 3 120 2 x 6 120 12 10. Em hãy vẽ thử xem nhé. Ở một số loại máy tính cầm tay ngƣời ta viết phím nCk để chỉ tổ hợp k của n. Với bài toán ngôi sao này thì đó là 5C2. Ta có thể tính 5C2 theo cách liệt kê Chọn 5 điểm A B C D E và đếm số đoạn thẳng là AB AC AD AE BC BD BE CD CE DE. Ta vẫn đƣợc đáp số là 10 đoạn thẳng. Bây giờ ta giải thích tại sao phải có kí hiệu 0 và 1 . Theo khái niệm ở trên thì n chỉ tích của n số đếm đầu tiên. Theo công thức truy hồi thì 2 2 x 1 hay 2 2 x 1 từ đó 1 1. Đến bài toán tổ hợp chẳng hạn tính số đoạn thẳng nối 2 điểm. Đáp số rõ ràng là 1. Tức là 2C2 1 hay 2 2 x 2 - 2 1. Từ đó 2 2 x 0 1 2 x 0 2 0 1. Vậy để đầy đủ các khái niệm giai thừa cho các số tự nhiên ngƣời ta quy ƣớc 0 1 1 b. Hoán vị Giả sử có n phần tử. Một hoán vị của n phần tử là một cách sắp xếp có thứ tự n phần tử đó vào n vị trí .
