Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Quảng Trị là tài liệu ôn thi học sinh giỏi môn Toán hữu ích, thông qua việc luyện tập với đề thi sẽ giúp các em làm quen với các dạng câu hỏi bài tập và rút kinh nghiệm trong quá trình làm bài thi. Mỗi đề thi kèm theo đáp án và hướng dẫn giải chi tiết giúp các bạn dễ dàng hơn trong việc ôn tập cũng như rèn luyện kỹ năng giải đề. | UBND TỈNH QUẢNG TRỊ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 12 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Khóa ngày 06 tháng 10 năm 2020 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi TOÁN Thời gian làm bài 180 phút không kể thời gian giao đề Câu 1. 5 0 điểm 1. Tìm tất các các điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số y cos x sin x. 2. Tìm m để phương trình 2 x 4 4 x 2 1 2m 0 có đúng 5 nghiệm phân biệt. Câu 2. 5 0 điểm 1 1. Chứng minh rằng C2020 2C2020 2 . 1010C2020 1010 . 2. Tìm tất cả các cặp số thực x y thỏa mãn xy 4 và x y 20 x y xy 8 . 2 Câu 3. 6 0 điểm 1. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a tam giác SAB vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối chóp S . ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC theo a. 2. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn I . Gọi M D E lần lượt là trung điểm của BC IB IC F G lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD và ACE. Chứng minh rằng AM vuông góc FG. Câu 4. 2 0 điểm Cho dãy số xn được xác định bởi x1 2 và xn 1 2 xn n 1. Chứng minh dãy số xn có giới hạn và tìm giới hạn đó. Câu 5. 2 0 điểm Xét các số thực dương a b c có tổng bằng 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2b c 2c a 2a b 18abc P . a b c ab bc ca HẾT Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. HƯỚNG DẪN GIẢI Câu . Tìm tất các các điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số y cos x sin x. x k 2 y sin x cos x y 0 4 x 3 k 2 4 3 y sin x cos x y k 2 2 0 y k 2 2 0 4 4 3 Vậy các điểm cực đại của hàm số là x k 2 Các điểm cực tiểu của hàm số là 4 x k 2 4 Câu 1. 2. Tìm m để phương trình 2 x 4 4 x 2 1 2m 0 có đúng 5 nghiệm phân biệt. 2 x 4 4 x 2 1 2m 0 2 x 4 4 x 2 1 2m . Cách 1 Xét hàm số f x 2 x 4 4 x 2 1 có BBT của hàm số f x và f x Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm cửa đồ thị hàm số f x và đường thẳng y m . Vậy phương trình đã cho có đúng 5 nghiệm phân biệt khi 2m 1 hay 1 m . 2 Cách 2 HS 10 11 . 2 x 4 4 x 2 1 2m 1 . Đặt t x2 t 0 PTTT 2t 2 4t 1 2m 2 . Xét hàm số f t 2t 2 4t 1 trên 0 . f t có đồ thị Biện luận các trường
