Olympic Toán học Sinh viên toàn quốc lần thứ 21 năm nay sẽ được tổ chức tại Đại học Duy Tân, Đà Nẵng từ ngày 08 -14/04/2013 với khoảng 90 trường đại học, cao đẳng cả nước cử khoảng 800 sinh viên tham dự hai môn thi Đại số và Giải tích. Tài liệu "Kỷ yếu Ôlympic Toán học sinh viên lần thứ XXI" tập hợp lại một số bài đề xuất của các trường tham dự kỳ thi với mong muốn cung cấp thêm một tài liệu tham khảo cho các sinh viên quan tâm. Mời các bạn cùng tham khảo. | K y u à N ng 04 2013 M cl c ôi nét v i h c Duy Tân iW I thi d tuy n n m 2013 1 1 is 3 Không gian véc t - Ánh x tuy n tính . . . . . . . . . . . . 3 Ma tr n - nh th c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Véc t riêng - Giá tr riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 H ph ng trình tuy n tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 a th c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 Gi i tích 17 Dãy s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Hàm s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Phép tính vi phân hàm m t bi n . . . . . . . . . . . . . . . 22 Phép tính tích phân hàm m t bi n . . . . . . . . . . . . . . 24 Lí thuy t chu i và tích phân suy r ng . . . . . . . . . . . . . 25 II thi chính th c n m 2013 27 3 thi 29 is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Gi i tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4 áp án 33 is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Gi i tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 iii Ph n I thi d tuy n n m 2013 1 1 Ch ng 1 is Không gian véc t - Ánh x tuy n tính Bài 1 C Tuyên Quang . Cho V là m t không gian véc t trên tr ng K. Gi s u1 u2 . un là m t h véc - t c l p tuy n tính c a V aij œ K 1 Æ j Æ i Æ n. Ch ng minh h véct v1 a11 u1 v2 a21 u1 a22 u2 v3 a31 u1 a32 u2 q33 u3 . vn an1 u1 an2 u2 . . . ann un là c l p tuy n tính khi và ch khi a11 a22 .ann 0. Bài 2 H Khoa h c Hu . Cho f V æ W là m t ánh x tuy n tính c a các không gian vecto h u h n chi u trên tr ng K. Ch ng minh r ng 1. N u A là m t không gian con k-chi u c a V sao cho A fl Kerf là m t không gian con r-chi u thì dim f A k r. 2. N u B là m t không gian con c a W sao cho B fl Imf là m t không gian con s-chi u thì dim f 1 B dim V s rank f . Bài 3 H Khoa h c Hu . Cho V F x và f là m t t ng c u c a V xác nh b i f P xP . Xác nh các giá tr riêng và vecto riêng c a t ng
