Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 5 Dạng song tuyến tính, tích vô hướng và không gian Euclide cung cấp cho người học các kiến thức: Dạng song tuyến tính trong không gian vectơ thực; Dạng toàn phương; Không gian Euclide; Phép biến đổi trực giao; Toán tử đối xứng; .Mời các bạn cùng tham khảo! | CHƯƠNG V 13 12 2020 TS. NGUYỄN HẢI SƠN 1 1 DẠNG SONG TUYẾN TÍNH TRONG KHÔNG GIAN VECTƠ THỰC 1 DẠNG SONG TUYẾN TÍNH Định nghĩa. Đ n. Cho V là một R-kgvt ánh xạ φ VxV R gọi là một dạng song tuyến tính trên V nếu nó thỏa mãn các t c sau i x1 x2 y x1 y x2 y ii x y x y iii x y1 y2 x y1 x y2 iv x y x y với x x1 x2 y y1 y2 V 1 DẠNG SONG TUYẾN TÍNH Chú ý Nếu cố định một biến thì dạng song tuyến tính trở thành dạng tuyến tính theo biến còn lại. VD1. Ánh xạ φ RxR R xác định bởi φ x y là một dạng song tuyến tính. VD2. Ánh xạ φ R2x R2 R xác định bởi φ u v y1 y2 là một dạng song tuyến tính. 1 DẠNG SONG TUYẾN TÍNH Chú ý. Ánh xạ tuyến tính f V R với V là một R-kgvt gọi là dạng tuyến tính trên V. VD3. Nếu V là kgvt và f g là hai dạng tuyến tính trên V thì ánh xạ φ VxV R xác định bởi φ u v f u g v là một dạng song tuyến tính. 1 DẠNG SONG TUYẾN TÍNH VD4. Ánh xạ φ R2x R2 R xác định bởi 1 3 y1 x y x1 x2 y 2 4 2 là một dạng song tuyến tính. Đ n. Dạng song tuyến tính φ Vx V R gọi là đối xứng nếu φ x y φ y x với mọi x y thuộc V. VD5. Các dạng song tuyến tính ở VD1 VD2 là các dạng song tuyến tính đối xứng. 1 DẠNG SONG TUYẾN TÍNH Ma trận của dạng song tuyến tính. n. Cho φ VxV R là dạng song tuyến tính trên V. Gọi B e1 e2 en là một cơ sở của V. Đặt φ ei ej aij với i j 1 n. Khi đó ma trận A aij gọi là ma trận của φ đối với cơ sở B. VD. Cho dạng song tuyến tính φ R2x R2 R xđ bởi φ u v y1 y2 . Viết ma trận của đối với cơ sở chính tắc của R2 và B v1 1 1 v2 1 2 1 DẠNG SONG TUYẾN TÍNH b. Biểu thức tọa độ. Cho x x1e1 x2e2 xnen và y y1e1 y2e2 ynen. Khi đó. n n t x y xi y j ei e j aij xi y j x A y B B i j 1 i j 1 t x y x A y BB 1 DẠNG SONG TUYẾN TÍNH c. Công thức đổi tọa độ G s B v1 v2 vn là cơ sở khác của V và T là mtr chuyển cơ sở từ B sang B . Gọi A là ma trận của φ đối với cơ sở B . Ta có x B T x B y B T y B t x y x B A y B t t Suy ra x y x A y B T x B A T y B B t t x T AT y B B 1 DẠNG SONG TUYẾN TÍNH t t t Do đó x T AT y B x A y B B B t A T AT ĐL. Hạng của ma trận .
