Mục tiêu của luận văn này là khảo sát một số trường hợp riêng của bài toán tìm các đa thức nguyên sao cho đa thức đó và các đạo hàm của nó có nghiệm hữu tỷ. Cụ thể chúng tôi trình bày lại các kết quả của G. Convertito và D. Cruz-Uribe. Mời các bạn tham khảo! | ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - - NGUYỄN THỊ MINH PHƯỢNG NGHIỆM HỮU TỶ CỦA ĐA THỨC NGUYÊN VÀ CÁC ĐẠO HÀM Chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp Mã số 8 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. ĐOÀN TRUNG CƯỜNG THÁI NGUYÊN - 2019 Mục lục Mở đầu 1 1 Bài toán chiếc hộp và phương trình Diophantine 3 Bài toán chiếc hộp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Liên hệ với nghiệm của phương trình Diophantine . . . 6 Một số ví dụ và bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 Đa thức dẫn xuất hữu tỷ 20 Đa thức dẫn xuất hữu tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Đường bậc 3 với 3 nghiệm phân biệt . . . . . . . . . . . 26 Đường bậc bốn với bốn nghiệm phân biệt . . . . . . . . 29 Đường bậc 4 dẫn xuất hữu tỷ . . . . . . . . . . . . . . . 32 Bài tập đề xuất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 i Mở đầu Một câu hỏi được nghiên cứu trong số học là tìm các đa thức nguyên sao cho đa thức đó và các đạo hàm của nó có nghiệm hữu tỷ. Các trường hợp riêng của bài toán này xuất hiện trong rất nhiều tình huống khác nhau trong toán học. Một trong số những phát biểu của bài toán đó như sau Cho một tấm bìa hình vuông có cạnh A N tại các góc của nó ta cắt bốn hình vuông nhỏ bằng nhau. Sau đó gấp tấm bìa thành một hình hộp với mặt trên hở. Hỏi phải cắt các hình vuông thế nào để thể tích của hình hộp nhận được là lớn nhất Thực tế ta có thể ta xét bài toán chặt hơn là phải tìm thể tích lớn nhất sao cho các cạnh của khối hộp là các số hữu tỷ. Điều này dẫn đến câu hỏi sau có thể lấy tấm bìa hình chữ nhật với kích thước các cạnh nguyên sao cho thể tích là lớn nhất Giả sử các cạnh của hình chữ nhật lần lượt là A B gt 0. Khi đó thể tích của khối hộp là B V x 2x A 2x B 0 lt x lt . 2 Câu hỏi trên dẫn đến nghiên cứu các đa thức bậc ba có 3 nhân tử phân biệt với hệ số nguyên sao cho đạo hàm đầu tiên có hai nghiệm phân biệt là các số hữu tỷ. Mục tiêu của luận văn này là khảo sát một số
