Tiếp nội dung phần 1, Giáo trình Toán cao cấp: Phần 2 cung cấp cho người học những kiến thức như: Tích phân; Phép tính vi phân hàm nhiều biến; Phương trình vi phân. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm chi tiết nội dung giáo trình! | Chương 5 TÍCH PHÂN . Tích phân bất định . Nguyên hàm và tích phân bất định Hàm số F x được gọi là nguyên hàm của hàm số f x trên khoảng a b nếu F x f x x a b . Nếu hàm số G x là một nguyên hàm khác của hàm số f x trên khoảng a b thì G x F x C với C là hằng số. Họ tất cả các nguyên hàm của của hàm số f x trên khoảng a b được gọi là tích phân bất định của hàm số f x trên khoảng a b . Ký hiệu f x dx. Vậy f x dx F x C F x f x Tính chất a f x g x dx f x dx g x dx b f x g x dx f x dx g x dx c kf x dx k f x dx với k là hằng số d Tính bất biến của biểu thức tích phân Nếu f x dx F x C thì f u du F u C trong đó u x . 129 Ví dụ 1. Cho hàm số F x ln x x 2 k . Tính đạo hàm của hàm số trên rồi suy ra 1 nguyên hàm của tích phân sau dx. x2 k Giải Ta có x 1 F x x2 k 1 f x x x2 k x k2 Suy ra 1 dx ln x x 2 k C. 2 x k . Bảng công thức các tích phân cơ bản x 1 1 a x dx C 1 g sin 2 x dx cot x C 1 1 1 b x dx ln x C h dx arcsin x C 1 x2 c e x dx e x C 1 i dx arccos x C 1 x2 d sin xdx cos x C 1 k 1 x 2 dx arctan x C e cos xdx sin x C 1 1 f l 1 x 2 dx arc cot x C cos2 x dx tan x C . Các phương pháp tính tích phân bất định . Sử dụng bảng tích phân cơ bản và phương pháp khai triển Ta có thể tính tích phân của một hàm phức tạp bằng cách khai triển nó thành tổng hiệu tích phân của các hàm đơn giản. Ví dụ 2. Tính tích phân bất định 3 x x 1dx Giải Nếu ta khai triển x x 1 1 ta chuyển tích phân trên về tổng 2 tích phân sau 3 x x 1dx x 1 1 3 x 1dx 130 x 1 3 x 1dx 3 x 1dx 4 3 1 3 x 1 dx x 1 dx 3 3 x 1 7 3 x 1 4 3 C 7 4 . Phương pháp đổi biến số Xét tích phân bất định I f x dx trong đó f x là một hàm số liên tục. Để tính tích phân này ta có thể chuyển sang một tích phân khác bằng cách thay x t . Với giả thiết hàm x t đơn điệu có đạo hàm liên tục ta có dx t dt Vậy I f x dx f t t dt g t dt với g t f t t Nếu ta tính được tích phân g t dt G t C thì I g t dt G 1 x C. Công thức được gọi là công thức đổi biến số. Ví dụ 3. Cho tích phân f ax b dx Đặt t ax b dt adx
