Kỷ yếu Kỳ thi Olympic Toán học sinh viên lần thứ XXI thông tin đến bạn các đề thi dự tuyển, đề thi chính thức năm 2013 trong các phần đại số và giải tích. Mời các bạn cùng tham khảo! | K y u à N ng 04 2013 M cl c ôi nét v i h c Duy Tân iW I thi d tuy n n m 2013 1 1 is 3 Không gian véc t - Ánh x tuy n tính . . . . . . . . . . . . 3 Ma tr n - nh th c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Véc t riêng - Giá tr riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 H ph ng trình tuy n tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 a th c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 Gi i tích 17 Dãy s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Hàm s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Phép tính vi phân hàm m t bi n . . . . . . . . . . . . . . . 22 Phép tính tích phân hàm m t bi n . . . . . . . . . . . . . . 24 Lí thuy t chu i và tích phân suy r ng . . . . . . . . . . . . . 25 II thi chính th c n m 2013 27 3 thi 29 is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Gi i tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4 áp án 33 is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Gi i tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 iii Ph n I thi d tuy n n m 2013 1 1 Ch ng 1 is Không gian véc t - Ánh x tuy n tính Bài 1 C Tuyên Quang . Cho V là m t không gian véc t trên tr ng K. Gi s u1 u2 . un là m t h véc - t c l p tuy n tính c a V aij œ K 1 Æ j Æ i Æ n. Ch ng minh h véct v1 a11 u1 v2 a21 u1 a22 u2 v3 a31 u1 a32 u2 q33 u3 . vn an1 u1 an2 u2 . . . ann un là c l p tuy n tính khi và ch khi a11 a22 .ann 0. Bài 2 H Khoa h c Hu . Cho f V æ W là m t ánh x tuy n tính c a các không gian vecto h u h n chi u trên tr ng K. Ch ng minh r ng 1. N u A là m t không gian con k-chi u c a V sao cho A fl Kerf là m t không gian con r-chi u thì dim f A k r. 2. N u B là m t không gian con c a W sao cho B fl Imf là m t không gian con s-chi u thì dim f 1 B dim V s rank f . Bài 3 H Khoa h c Hu . Cho V F x và f là m t t ng c u c a V xác nh b i f P xP . Xác nh các giá tr riêng và vecto riêng c a t ng
