Chuyên đề Nguyên lý Dirichlet trong Số học trình bày nguyên lý Dirichlet và cách ứng dụng nó để giải các bài toán bất đẳng thức. Đây là tài liệu học tập và tham khảo tốt để các em không gặp khó khăn với những bài toán bất đẳng thức. | CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN CHUYÊN ĐỀ .NGUYÊN LÝ DIRICHLET TRONG SỐ HỌC A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Giới thiệu nguyên lý Dirichlet Dirichlet Đi-rích-lê 1805 1859 là nhà toán học người Đức được cho là người đưa ra định nghĩa hiện đại về hàm số. Trên cơ sở quan sát thực tế ông đã phát biểu thành một nguyên lí mang tên ông nguyên lí Dirichlet Không thể nhốt 7 con thỏ vào 3 cái lồng mà mỗi cái lồng có không quá 2 con thỏ. Nói cách khác nếu nhốt 7 con thỏ vào 3 cái lồng thì tồn tại ít nhất một lồng có từ 3 con trở lên. Một cách tổng quát hơn nếu có k lồng để nhốt m con thỏ với k kn r 0 r k 1 thì tồn tại ít nhất một lồng có chứa từ n 1 con thỏ trở lên. Ta cũng có thể dễ dàng chứ minh nguyên lí Dirichet bằng phương pháp phản chứng như sau Giả sử không có một lồng nào chứ n 1 con thỏ trở lên tức là mỗi lồng chứa nhiều nhất n con thỏ thì số con thỏ chứa trong k lồng nhiều nhất chỉ có thể là kn con. Điều này mâu thuẫn với giả thiết có m con thỏ với m kn r 0 r k 1 . Nguyên lí Dirichlet thật đơn giản dễ hiểu nhưng được vận dụng vào giải rất nhiều bài toán trong số học đại số hình học về việc chỉ ra sự tồn tại của một hay nhiều đối tượng thỏa mãn một điều kiện đặt ra. Khi sử dụng nguyên lí Dirichlet vào bài toán cụ thể điều quan trọng là phải nhận ra hay tạo ra Lồng hoặc Thỏ hoặc cả Lồng và Thỏ. 2. Một số dạng áp dụng của nguyên lý Dirichlet Nguyên lý Dirichlet cơ bản Nếu nhốt n 1 con thỏ vào n cái chuồng thì bao giờ cũng có một chuồng chứa ít nhất hai con thỏ. Nguyên lý Dirichlet tổng quát Nếu có N đồ vật được đặt vào trong k hộp thì sẽ tồn tại một N hộp chứa ít nhất đồ vật. Ở đây x là số nguyên nhỏ nhất có giá trị nhỏ hơn hoặc bằng x k .1 TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN NGUYÊN LÝ DIRICHLET Nguyên lí Dirichlet mở rộng Nếu nhốt n con thỏ vào m 2 cái chuồng thì tồn tại một chuồng n m 1 có ít nhất con thỏ. m Nguyên lí Dirichlet dạng tập hợp Cho A và B là hai tập hợp khác rỗng có số phần tử hữu hạn mà số lượng phần tử của A lớn hơn số lượng phần tử của B. Nếu với một
