Bổ đề nâng số mũ là một công cụ rất hiệu quả, giải quyết nhanh gọn nhiều bài toán số học khó như chia hết, phương trình nghiệm nguyên, chứng minh sự tồn tại . Do khuôn khổ bài viết nên các tính chất đơn giản, không trình bày chứng minh ở đây, bạn đọc xem như bài tập nhỏ; các chứng minh công thức Legendre, định lý Kummer, bổ đề nâng lũy thừa có trong một số tài liệu đã dẫn, chúng tôi không nêu lại. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài viết! | Hội thảo Khoa học Sầm Sơn 28-28 09 2019 BỔ ĐỀ NÂNG SỐ MŨ VÀ ỨNG DỤNG Trịnh Khắc Tuân Trường THPT Thọ Xuân 5 Thanh Hóa Tóm tắt nội dung Bổ đề nâng số mũ là một công cụ rất hiệu quả giải quyết nhanh gọn nhiều bài toán số học khó như chia hết phương trình nghiệm nguyên chứng minh sự tồn tại. . . Do khuôn khổ bài viết nên các tính chất đơn giản không trình bày chứng minh ở đây bạn đọc xem như bài tập nhỏ các chứng minh công thứcLegendre định lý Kummer bổ đề nâng lũy thừa có trong một số tài liệu đã dẫn chúng tôi không nêu lại. 1 Số mũ đúng Định nghĩa . Cho p là số nguyên tố a là số nguyên và α là số tự nhiên. Ta gọi pα là lũy thừa đúng của a và α là số mũ đúng của p trong khai triển của a nếu pα a và pα 1 - a. Khi đó ta viết pα k a hay v p a α. Ví dụ Ta có v3 54 3 vì 33 54 và 34 - 54. Từ định nghĩa ta có một số tính chất đơn giản sau. Tính chất . Với a b c là các số nguyên p là số nguyên tố thì - v p ab v p a v p b . - v p an p a . - min v p a v p b v p a b dấu đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi v p a 6 v p b . - v p gcd a b c min v p a v p b v p c . - v p lcm a b c max v p a v p b v p c . - b a v p a v p b . Tính chất của số mũ đúng được sử dụng nhiều trong các bài toán số học như chia hết chứng minh sự tồn tại hoặc không tồn tại giải phương trình nghiệm nguyên. . . Sau đây ta xét một số ví dụ. Ví dụ Poland 2016 . Cho k n nguyên dương lẻ lớn hơn 1. Chứng minh rằng nếu tồn tại số tự nhiên a thỏa mãn k 2a 1 n 2a 1 thì không tồn tại số tự nhiên b thỏa mãn k 2b 1 n 2b 1. Lời giải. Giả sử tồn tại b thỏa mãn. Ta có k 2a 1 22a 1 và n 2a 1 nên ordk 2 2a ordk 2 b và ordk 2 - a. Do đó v2 ordk 2 v2 a 1 2v2 a 1 b v2 a 1 v2 b . Tương tự 2v2 b 1 a v2 b 1 v2 a . Mâu thuẫn này chứng tỏ không tồn tại b thỏa mãn. 1 Hội thảo Khoa học Sầm Sơn 28-28 09 2019 Ví dụ . Cho a b c nguyên dương thỏa mãn c ca 1 2 2c b 3c b . Chứng minh rằng c là số chính phương. Lời giải. Ta có c ca 1 2 6c2 5bc b2 c b2 . Gọi p là ước nguyên tố tùy ý của c ta có v p b2 v p c 2v p b v p c . 1 Nếu v p
