Bài viết "Một số phương pháp tính giới hạn của dãy lặp" đưa ra các phương pháp tìm số hạng tổng quát, tìm ra quy luật chung để dự đoán số hạng tổng quát, chứng minh số hạng tổng quát đó là đúng (thường là dùng phương pháp quy nạp toán học); phương pháp sử dụng định lý Weierstrass; phương pháp sử dụng ánh xạ co, . Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài viết! | Hội thảo Khoa học Sầm Sơn 28-28 09 2019 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY LẶP Trịnh Văn Hoa Trường THPT Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 1 Phương pháp tìm số hạng tổng quát Các bước thực hiện - Xác định một vài số hạng đầu tiên - Tìm ra quy luật chung để dự đoán số hạng tổng quát - Chứng minh số hạng tổng quát đó là đúng thường là dùng phương pháp quy nạp toán học - Tính giới hạn dựa vào số hạng tổng quát. Ví dụ . Cho dãy số un xác định bởi u 1 2 . Tìm lim un un 1 un 2 n 1 n π π Lời giải. Ta có u1 2 2 cos 2 . u2 2 u1 u22 2 u1 2 1 cos 2 4 π π π 4cos2 u2 2 cos 3 Dự đoán un 2 cos n 1 Dễ dàng dùng phương pháp quy 8 2 2 π nạp toán học chứng minh được un 2 cos n 1 . Suy ra lim un 2. 2 n Nhận xét . Bài này còn có thể giải theo cách khác được thể hiện trong ví dụ ở phần sau. Đôi khi việc dự đoán số hạng tổng quát khó khăn ta có thể biến đổi biểu thức phức tạp xn 1 f xn thành biểu thức đơn giản hơn thông qua phép đăt yn g xn . Sau đó tìm yn và quay lại tìm xn . Ta sẽ thực hiện điều này qua ví dụ sau dụ Dựa vào đề thi HSG Hà Nội 2012 - 2013 . Cho dãy số un xác định bởi Ví u1 2 u2n . Chứng minh rằng dãy số un có giới hạn hữu hạn u n 1 n 1 n N 2un 1 1 Hội thảo Khoa học Sầm Sơn 28-28 09 2019 tìm giới hạn đó. u2n 1 2 1 1 1 2 Lời giải. Từ un 1 1 1 2un 1 u n 1 un u2n u n 1 u2n un 2 1 1 1 1 1 1 1 Đặt vn 1 v1 1 và vn 1 v2n . u n 1 un un 2 2 n 1 Suy ra v1 2 v2 2 v3 2 v4 2 Giả sử vn 2 2 n 4 1 2 4 8 n 1 2 n n 1 giả thiết quy nạp vn 1 2 2 2 2 . Do đó vn 2 2 n. n 1 n 1 1 1 1 22 22 Mà vn 1 un n 1 n 1 nên un n 1 Ta un 1 vn 1 2 2 22 1 22 1 n 1 22 1 có lim un lim lim 1. Vậy dãy số đã cho có giới hạn n n 22n 1 1 n 1 1 n 1 22 là 1. Nhận xét . Bài này còn có thể giải theo cách khác được thể hiện trong Ví dụ ở phần sau. Bài tập tương tự π x1 2 cos Bài . Cho dãy số xn xác định bởi 9 . xn 1 3xn 1 Tìm lim xn . n 1 Cách giải. Đặt vn xn 2 u1 2 Bài . Cho dãy số un xác định bởi công thức un 5un 1 6 n 2 . Tìm lim un . n 3 Cách giải. Đặt vn un . 2 Bài IMO 2014 . Cho hai dãy
