Phần 2 của ebook "Chọn lọc các phương trình đại số hay và khó" được biên soạn nhằm cung cấp cho các bạn những kiến thức về phương pháp bất đẳng thức và hệ phương trình nhiều ẩn. Đây là tài liệu được tổng hợp với những ai muốn tăng khả năng tư duy giải toán của mình. Mời các bạn tham khảo! | Tuyển tập phương trình đại số hay và khó 6 Chương Phương pháp bất đẳng thức P hương trình Hệ phương trình Bất đẳng thức là hai lĩnh vực có mối quan hệ chặt chẽ với nhau. Đây cũng chính là những phần quan trọng nhất của chương trình toán THPT và rất được nhiều học sinh đam mê toán yêu thích. Không những thế vấn đề này còn thường xuyên xuất hiện trong kì thi THPT Quốc gia hay các kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh hay thậm chí VMO. Các bài toán phương trình không chính tắc thường được thiết kế và sáng tạo dưới ý tưởng của một bất đẳng thức nào đó đồng thời cũng là sự phối hợp của nhiều luồng kiến thức khác nhau yêu cầu người làm toán phải có một tư duy linh hoạt sự tìm tòi củng cố kiến thức liên hệ kiến thức đồng thời tập cho chúng ta nghiên cứu để có thể khám phá vẻ đẹp cũng như sử dụng thành thạo phương pháp này. Các bất đẳng thức cơ bản cần nhớ Bất đẳng thức AM GM. Cho n số thực dương a1 a2 . an khi đó ta có a1 a2 . an n a1 .a2 .an n 1 n2 Bất đẳng thức AM GM dạng cộng mẫu số cho n số thực dương a1 a2 . an . i 1 ai n a1 i 1 Dấu xảy ra khi a1 a2 . an . Bất đẳng thức Cauchy Schwarz . 2 n n n Cho 2 bộ số a1 a2 . an và b1 b2 . bn . Khi đó ta có ai2 bi2 aibi i 1 i 1 i 1 Ngoài ra cần phải chú ý đến bất đẳng thức Cauchy Schwarz dạng cộng mẫu Engel. 2 n n ai 2 ai i n1 i 1 bi bi i 1 Bất đẳng thức trên còn có thể gọi là bất đẳng thức Svacxơ. a a a Dấu xảy ra khi 1 2 n . Riêng dạng cộng mẫu thì cần thêm điều kiến là b1 b2 . bn 0 b1 b2 bn Bất đẳng thức Minkowski. Tổng quát. Cho mọi số thực r 1 và mọi số dương a1 a2 . an b1 b2 . bn thì ta có 229 Chinh phục olympic toán Các bài toán chứa tham số 1 1 1 n r r n r r n r r i 1 ai bi ai bi i 1 i 1 Ở đây chỉ xét trường hợp cho 2 bộ số a1 a2 . an và b1 b2 . bn . Khi đó ta có n n n ai 2 bi a bi 2 i i 1 i 1 i 1 a1 a2 a Dấu xảy ra khi n . b1 b2 bn Bất đẳng thức Holder. Cho các số dương x i j i 1 m j 1 n . j n m m n n Khi đó với mọi số 1 2 . n 0 thỏa mãn i 1 ta có x i j x i jj i 1 i 1 j 1 j 1 i 1 Ở đây ta chỉ xét trường hợp đơn giản nhất cho 3
