Nghiên cứu trình bày xuất phát từ những vấn đề đơn giản, dễ hiểu, những khái niệm mới sẽ được định nghĩa luôn trong bài để có thể đọc tương đối độc lập. Và mỗi một chuỗi bài sẽ nêu ra những vấn đề nhất định, có thể là giải quyết một bài toán kinh điển hay nêu ra những giả thuyết mới, những vấn đề mới. | Tạp chí online của cộng đồng những người yêu Toán CÁC VẤN ĐỀ CỔ ĐIỂN VÀ HIỆN ĐẠI Trần Nam Dũng ĐHKHTN ĐHQG Tp HCM Chuyên mục này dành cho các vấn đề cổ điển và hiện đại được trình bày dưới dạng các bài toán xâu chuỗi. Đó có thể là chuỗi các bài để giải bài toán đẳng chu chứng minh đẳng thức Euler 2 kỳ hiệu 1 212 312 π6 một chuỗi bài toán vận trù. . . Cách trình bày xuất phát từ những vấn đề đơn giản dễ hiểu những khái niệm mới sẽ được định nghĩa luôn trong bài để có thể đọc tương đối độc lập. Và mỗi một chuỗi bài sẽ nêu ra những vấn đề nhất định có thể là giải quyết một bài toán kinh điển hay nêu ra những giả thuyết mới những vấn đề mới. 1. Phương trình Diophant 1 Đề toán đề nghị cho Hội nghị mùa hè của cuộc thi toán giữa các thành phố năm 2013 đề xuất bởi . Định lý 1 Gauss . Một số nguyên dương có thể biểu diễn được dưới dạng tổng của ba bình phương khi và chỉ khi nó có không có dạng 4n 8m 1 . Bài toán 1. Chứng minh rằng các phương trình 2x2 2xy y2 1 1 x2 xy y2 2 2 không có nghiệm nguyên. Bài toán 2. Chứng minh rằng phương trình x2 1000xy 1000y2 2001 có vô số nghiệm nguyên. 139 Bài toán 3. Chứng minh rằng các phương trình x2 2y2 1 1 Tạp chí online của cộng đồng những người yêu Toán x2 3y2 1 2 x2 6y2 1 3 có vô số nghiệm nguyên. Bài toán 4. Cố định số nguyên tố lẻ p. Chứng minh rằng phương trình x2 py2 1 có nghiệm nguyên khi và chỉ khi p có số dư là 1 khi chia cho 4. Bài toán 5. Chứng minh rằng với mọi m số nghiệm của các phương trình sau là như nhau x2 xy y2 m 1 3x2 9xy 7y2 m. 2 Bài toán 6. Chứng minh rằng với mọi n Z phương trình x2 y2 n có nghiệm nguyên khi và chỉ khi nó có nghiệm hữu tỷ. Bài toán 7. Hãy nêu ví dụ một phương trình bậc hai với hệ số nguyên có nghiệm hữu tỷ nhưng không có nghiệm nguyên. Bài toán 8. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương a b tồn tại vô số các số tự nhiên m sao cho phương trình ax2 by2 m không có nghiệm nguyên. Bài toán 9. Chứng minh rằng với mọi số nguyên m phương trình x2 2y2 3z2 m
