Nội dung chính của bài viết trình bày về xấp xỉ diophantine trên Rn - Véc tơ xấp xỉ kém và trò chơi siêu phẳng tuyệt đối. Để hiểu rõ hơn, mời các bạn tham khảo chi tiết nội dung bài viết này. | XẤP XỈ DIOPHANTINE TRÊN Rn- VÉC TƠ XẤP XỈ KÉM VÀ TRÒ CHƠI SIÊU PHẲNG TUYỆT ĐỐI Lý Ngọc Tuệ Đại học Brandeis Massachusetts Mỹ 1. Giới thiệu Trong phần 1 và phần 2 của loạt bài về xấp xỉ Diophantine 16 17 chúng ta đã chứng minh Định lý Dirichlet trên Rn như sau pE Định lý 1 Dirichlet . Với mọi véc tơ vô tỉ xE 2 Rn X Qn tồn tại vô số véc tơ hữu tỉ D q p1 pn 2 Qn với pE 2 Zn và q 2 Z q 0 sao cho q q xE pE lt 1 q jqj1C n1 Tổng quát hơn một tí chúng ta gọi một hàm số liên tục không tăng W R gt 0 R gt 0 là một hàm xấp xỉ và gọi một véc tơ xE 2 Rn là -xấp xỉ được1 nếu như tồn tại vô số pE 2 Zn q 2 Z q 0 sao cho xE E p .jqj q jqj Tập các véc tơ -xấp xỉ được trên Rn sẽ được ký hiệu là WAn . . Nếu như ta sử dụng ký hiệu W k 7 k thì Định lý Dirichlet có thể được phát biểu lại thành WAn 1 D Rn n Hàm số sẽ được gọi là một hàm Dirichlet trên Rn nếu như WAn . D Rn . Câu hỏi về hàm số Dirichlet tối ưu cho Rn được trả lời một phần bởi Định luật 0-1 sau của Khintchine Định lý 2 Khintchine 1926 . Ký hiệu là độ đo Lebesgue trên Rn 1 X i Nếu như chuỗi .k n hội tụ thì .WAn . D 0. kD1 1 X ii Nếu như chuỗi .k n phân kỳ thì .Rn X WAn . D 0. kD1 1 -approximable 7 Tạp chí Epsilon Số 08 04 2016 Với gt 0 bất kỳ theo Định lý 2 WA 1 C D 0. Vì vậy 1 C không phải là hàm n n 1 Dirichlet và số mũ 1 C trong Định lý 1 là tối ưu. Tuy nhiên với những hàm số tiến về 0 n 1 1 1 nhanh hơn một tí như k 7 k n .log k n hay k 7 k n .log log k 1 Định lý 2 không thể cho ta biết được rằng đấy có phải là hàm Dirichlet hay không. Thật ra những hàm này không thể là hàm Dirichlet được hay tổng quát hơn nữa nếu như hàm số thỏa mãn 1 lim k n .k D 0 k 1 thì không phải là một hàm Dirichlet trên Rn WAn . Rn . Điều này có thể được chứng minh bằng cách chỉ ra sự tồn tại của các véc tơ xấp xỉ kém được định nghĩa như sau xE 2 Rn được gọi là xấp xỉ kém nếu như tồn tại một hằng số c gt 0 tùy thuộc vào E sao cho với mọi pE 2 Zn q 2 Z q 0 x xE pE gt c q jqj1C n1 Tập các véc tơ xấp xỉ kém trên Rn sẽ được ký hiệu bởi BAn . Khi n
