Bài viết trình bày cơ sở Grobner là một tập hợp các đa thức nhiều biến có các tính chất mong muốn về giải thuật. Mỗi tập hợp các đa thức có thể biến đổi thành một cơ sở Grobner. Quá trình biến đổi này tổng quát hóa ba kỹ thuật quen thuộc: Phép khử Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính, thuật toán Euclide để tính ước chung lớn nhất của hai đa thức một biến và thuật toán đơn hình trong qui hoạch tuyến tính. | CƠ SỞ GROBNER LÀ GÌ Bernd Sturmfels - Đại Học California Berkeley Mỹ Bài viết được Nguyễn Vũ Duy Linh dịch từ bài báo What is Groebner basis của giáo sư Bernd Sturmfels đăng trên tạp chí Notice of AMS volume 52 number 10 2005 Một cơ sở Gr obner là một tập hợp các đa thức nhiều biến có các tính chất mong muốn về giải thuật. Mỗi tập hợp các đa thức có thể biến đổi thành một cơ sở Gr obner. Quá trình biến đổi này tổng quát hóa ba kỹ thuật quen thuộc Phép khử Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính thuật toán Euclide để tính ước chung lớn nhất của hai đa thức một biến và thuật toán đơn hình trong qui hoạch tuyến tính xem Œ3 Chẳng hạn đầu vào của phép khử Gauss là tập các dạng tuyến tính sau D f2x C 3y C 4z 5 3x C 4y C 5z 2g Và thuật toán biến đổi thành cơ sở Gr obner D fx z C 14 y C 2z 11g Gọi K là một trường bất kỳ chẳng hạn như trường số thực K D R trường số phức K D C trường số hữu tỉ K D Q hay là trường hữu hạn K D Fp Ta ký hiệu KŒx1 xn là vành các đa thức n biến xi với hệ số trong trường K Nếu F là một tập hợp bất kỳ các đa thức thì ideal sinh bởi là tập hợp h i bao gồm mọi tổ hợp tuyến tính các đa thức của h i D fp1 f1 C C pr fr W f1 fr 2 và p1 pr 2 KŒx1 xn g Trong ví dụ của chúng ta tập và cơ sở Gr obner của nó sinh ra cùng một ideal h i D h i Theo định lý Hilbert về cơ sở mỗi một ideal trong KŒx1 x2 xn có dạng I D h i nghĩa là nó được sinh ra bởi một tập hữu hạn các đa thức. Một thứ tự đơn thức trên KŒx1 x2 xn là một thứ tự toàn phần trên tập hợp tất cả các đơn thức x a D x1a1 x2a2 xnan với hai tính chất sau .1 Nó là nhân tính nghĩa là x a x b kéo theo x aCc x bCc với mọi a b c 2 Nn .2 Đơn thức hằng là nhỏ nhất có nghĩa là 1 x a với mọi a 2 Nn f0g Một ví dụ của thứ tự đơn thức với n D 2 là thứ tự từ điển phân bậc 1 x1 x2 x12 x1 x2 x22 x32 x12 x2 Nếu chúng ta cố định thứ tự đơn thức khi đó mỗi đa thức có duy nhất một số hạng khởi đầu trong .f D x a Đó là đơn thức cực đại x a xuất hiện trong khai triễn của f với hệ số khác không. Chúng ta viết các số hạng của f
