Bài viết "Xung quanh định lý Brokard" sẽ nói về các vấn đề xoay quanh định lý Brokard quen thuộc và được trình bày bằng các công cụ hình học phẳng thuần túy. Để hiểu rõ hơn, mời các bạn tham khảo chi tiết nội dung bài viết này. | XUNG QUANH ĐỊNH LÝ BROKARD Nguyễn Trần Hữu Thịnh Trường THPT Chuyên Lý Tự Trọng Cần Thơ Bài viết này sẽ nói về các vấn đề xoay quanh định lý Brokard quen thuộc và được trình bày bằng các công cụ hình học phẳng thuần túy. 1. Mở đầu Định lý Brokard 1 nói về tam giác được có các định là giao điểm của các cặp đường thẳng tạo bởi một tứ giác nội tiếp và nhận tâm ngoại tiếp của tứ giác ấy là trực tâm. Bản thân Brokard cũng là một trong những viên ngọc quý và có nhiều ứng dụng trong các cuộc thi học sinh giỏi các nước. Sau đây tôi xin trình bày lại một cách chứng minh định lý này thông qua một bổ đề có khá nhiều ứng dụng như sau Định lý Brokard. Cho tứ giác lồi ABCD không là hình thang nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi E F G lần lượt là giao điểm của AB và CD AD và BC AC và BD. Khi đó O là trực tâm của tam giác EF G. Lời giải sau được rút ra từ ý tưởng của thầy Đỗ Thanh Sơn về vấn đề giao điểm của các tiếp tuyến trong một đường tròn. Ta có bổ đề sau Bổ đề 1. Gọi H I J K L M theo thứ tự là giao điểm của các cặp đường thẳng .dA I dB .dA I dC .dA I dD .dB I dC .dB I dD .dC I dD 1 . Khi đó các bộ điểm .I I EI LI F .F I M I GI H .EI KI GI J thẳng hàng. Chứng minh. Do vai trò của E và F là bình đẳng trên đường thẳng IL nên ta có thể giả sử E nằm trên đoạn thẳng IL. Gọi E là giao điểm của AB và IL. Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác IHL với cát tuyến ABE được EI BL AH EI AI D 1 hay D EL BH AI EL BL Gọi E 0 là giao điểm của CD và IL. Tương tự ta cũng được E 0I CI AI D D E 0L DL BL Điều này chứng tỏ E và E 0 chia trong đoạn IL theo cùng tỉ số. Do đó E trùng E 0 . Nên với E là giao điểm AB và CD thì I E L thẳng hàng. Tương tự I L F thẳng hàng. Vậy bộ điểm .I I EI LI F thẳng hàng. 1 Để tiện cho việc chứng minh ta quy ước dK là tiếp tuyến tại K của đường tròn đi qua K. 61 Tạp chí Epsilon Số 08 04 2016 Với cách chứng minh như vậy ta cũng suy ra được các bộ điểm .F I M I GI H .EI KI GI J thẳng hàng. Một cách khác ta có thể áp dụng định lý Pascal cho lục giác suy biến thành tứ giác .
