Tứ giác ngoại tiếp là một chủ đề không quá mới đối với bất kỳ ai đam mê với môn toán và đặc biệt là môn hình học nhưng có không nhiều những tài liệu viết về chủ đề này. Vậy nên trong bài viết này đề cập đến vấn đề này với kiến thức và những ứng dụng cơ bản nhất của tứ giác ngoại tiếp. Mời các bạn tham khảo! | TỨ GIÁC NGOẠI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN Đỗ Xuân Anh Trường THPT Chuyên KHTN Hà Nội Tứ giác ngoại tiếp là một chủ đề không quá mới đối với bất kỳ ai đam mê với môn toán và đặc biệt là môn hình học nhưng có không nhiều những tài liệu viết về chủ đề này. Vậy nên trong bài viết này tôi xin đề cập đến vấn đề này với kiến thức và những ứng dụng cơ bản nhất của tứ giác ngoại tiếp. 1. Một số tính chất cơ bản của tứ giác ngoại tiếp đường tròn Khi nhắc tới tứ giác ngoại tiếp đường tròn chúng ta nên để ý đến những tính chất hay sử dụng như sau Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn .I . .I tiếp xúc AB BC CD DA lần lượt tại M N P Q. Đặt AM D AQ D a BM D BN D b CN D CP D c DQ D DP D d . Định lý 1. Định lý Pithot AB C CD D BC C DA. Định lý 2. 1. Định lý Newton AC BD MP NQ đồng quy tại T AT a BT b 2. D D CT c DT d B M A T N Q I P C D Chứng minh. Gọi T1 là giao điểm của AC với MP và T2 là giao điểm của AC với NQ. 75 Tạp chí Epsilon Số 08 04 2016 Ta sẽ chứng minh T1 T2 T . Thật vậy áp dụng định lí sin ta có T1 A AM sin C T1 M sin AMP D T1 C sin AT1 M CP sin CPM AM D CP T2 A a Tương tự D nên T1 T2 T trùng nhau. Tính chất được chứng minh. T2 C c AV a BV b Định lý 3. AC MN PQ đồng quy tại V và D D . Từ đó suy ra .AC T V D CV c DV d 1. V B M A T N Q I P C D AV a Chứng minh. Lấy V trên AC sao cho D . Áp dụng định lí Menelaus cho 4ABC ta có CV c M N V thẳng hàng. Tương tự suy ra P Q V thẳng hàng. Vậy tính chất trên cũng được chứng minh. Định lý 4. Đường thẳng qua A vuông góc với AB cắt BI tại X đường thẳng qua A vuông góc với AD cắt DI tại Y thì XY vuông góc với AC . B A Y I F X E C D 76 Tạp chí Epsilon Số 08 04 2016 Chứng minh. Gọi F là hình chiếu của X lên BC E là hình chiếu của Y lên CD. Ta có AX 2 XC 2 D AX 2 XF 2 F C 2 D F C 2 . AY 2 Y C 2 D AY 2 YE 2 EC 2 D EC 2 Mà F C D BC AB D DC AD D EC nên AX 2 XC 2 D AY 2 Y C 2. XA2 C C Y 2 AY 2 CX 2 D XA2 C AC 2 CX 2 .AY 2 C AC 2 C Y 2 D 2AX AC 2AY AC D 2AC YX Do đó AC XY . Vậy ta đã chứng minh xong định lí 4. Ngoài ra chúng ta cũng nên biết một số .
