Bài viết cung cấp cho bạn một số kiến thức về biểu diễn một số nguyên dương dưới dạng tổng của hai số chính phương, biểu diễn một số nguyên dương dưới dạng tổng của bốn số chính phương và biểu diễn một số nguyên dương dưới dạng tổng của ba số chính phương. Mời các bạn tham khảo! | BIỂU DIỄN SỐ NGUYÊN DƯƠNG DƯỚI DẠNG TỔNG CÁC SỐ CHÍNH PHƯƠNG Hoàng Cao Phong Chuyên đề nghiên cứu bài toán Waring trong trường hợp k D 2. Trong chuyên đề ta sẽ chứng minh D 4. Để làm được điều đó ta chỉ cần chỉ ra có một số số nguyên dương không thể biểu diễn dưới đước dạng tổng hai số chính phương một số số không thể biểu diễn được dưới dạng tổng ba số chính phương nhưng mọi số nguyên dương đều biểu diễn được dưới dạng tổng của bốn số chính phương. Ngoài ra chúng ta sẽ đi tìm đáp án cho câu hỏi quot Những số nguyên dương nào biểu diễn được dưới dạng tổng hai số chính phương và ba số chính phương quot . Cuối cùng chúng ta sẽ xem xét bài toán Waring tổng quát và các vấn đề mở rộng cho hàm . 1. Giới thiệu Việc tìm cách biểu diễn một số nguyên dương dưới dạng tổng các số chính phương được rất nhiều đối tượng quan tâm từ những người yêu toán cho đến những nhà toán học. Vào năm 1632 Albert Girard là người đầu tiên đưa ra nhận định một số nguyên tố lẻ đồng dư với 1 mod 4 là tổng của hai số chính phương điều này đã được công bố vào năm 1634 sau cái chết của ông. Fermat được cho là người đầu tiên đưa ra lời giải cho bài toán và nó được đưa vào một lá thư của ông gửi Marin Mersenne vào ngày 25 tháng 12 năm 1640. Tuy nhiên trong bức thư Fermat không đưa ra chứng minh cho khẳng định của mình. Lời giải đầu tiên được tìm ra bởi Euler vào năm 1747 khi ông 40 tuổi. Một cách tự nhiên Định lí Fermat về tổng hai số chính phương dẫn đến câu hỏi Tìm giá trị nhỏ nhất của n sao cho mọi số nguyên dương đều có thể biểu diễn bằng tổng của không quá n số chính phương quot . Đây là trường hợp riêng của bài toán Waring khi k D 2. Trong chuyên đề ta sẽ chứng minh n D 4 và chỉ ra những số nguyên dương nào có thể biểu diễn dưới dạng tổng của hai hoặc ba số chính phương. Trong mục 2 ta chứng minh một số nguyên tố có thể biểu diễn dưới dạng tổng của hai số chính phương khi và chỉ khi nó không đồng dư với 3 mod 4 và trả lời câu hỏi quot Những số nguyên dương nào có thể biểu diễn được dưới
