Nội dung chính của bài viết "Xung quanh bài toán hình học trong kỳ thi VM0 2014" đưa ra một góc nhìn của tác giả về bài hình học số 4 trong kỳ VMO 2014 cũng như những khai thác xung quanh cấu hình của bài toán. Mời các bạn tham khảo! | XUNG QUANH BÀI TOÁN HÌNH HỌC TRONG KỲ THI VMO 2014 Nguyễn Tiến Dũng - Hà Nội Tóm tắt Bài viết đưa ra một góc nhìn của tác giả về bài hình học số 4 trong kỳ VMO 2014 cũng như những khai thác xung quanh cấu hình của bài toán. Bài hình học số 4 trong kỳ VMO 2014 có nội dung được đề cập trong 1 như sau Bài toán 1. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn .O với AB lt AC . Gọi I là trung điểm cung BC không chứa A. Trên AC lấy điểm K khác C sao cho IK D IC . Đường thẳng BK cắt .O tại B và cắt đường thẳng AI tại E. Đường thẳng DI cắt đường thẳng AC tại F . BC 1. Chứng minh rằng EF D . 2 2. Trên DI lấy điểm M sao cho CM song song với AD. Đường thẳng KM cắt đường thẳng BC tại N . Đường tròn ngoại tiếp tam giác BKN cắt .O tại P .P B . Chứng minh rằng đường thẳng PK đi qua trung điểm của đoạn thẳng AD. Có thể thấy rằng hai ý của bài toán hầu như không liên quan tới nhau ý 2. mới là ý chính của bài toán. Vì vậy đề bài được phát biểu gọn lại như sau Bài toán 2. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn .O với AB lt AC . Gọi I là trung điểm cung BC không chứa A. Trên AC lấy điểm K khác C sao cho IK D IC . Đường thẳng BK cắt .O tại B . Trên DI lấy điểm M sao cho CM song song với AD. Đường thẳng KM cắt đường thẳng BC tại N . Đường tròn ngoại tiếp tam giác BKN cắt .O tại P .P B . Chứng minh rằng đường thẳng PK đi qua trung điểm của đoạn thẳng AD. Lời giải thứ nhất. Do I là trung điểm cung BC không chứa A của đường tròn .O nên IB D IC D IK. Ta thấy AKI D 180ı CKI D 180ı ICK D ABI nên AIB D c g . Vì thế K đối xứng với B qua AI . Ta có DCK D ABK D AKB D DKC nên dễ thấy DI là trung trực của đoạn CK. Chú ý đến tính đối xứng qua trục DI và CM k AD ta có MKC D M CK D DAC D KBN nên AC là tiếp tuyến của đường tròn .BKN . Gọi E là giao của DI và AC thế thì EKP D KBP D EIP nên tứ giác EP IK nội tiếp suy ra IPK D IEK D 90ı . PK cắt .O tại F .F P . Chú ý rằng K là trực tâm của tam giác ADI nên ta dễ dàng chứng minh được AFDK là hình bình hành. Do đó KF đi qua trung điểm AD. Từ .
