Nội dung chính của bài giảng "Chuỗi điều hòa" trình bày các bài toán đại số, các bài toán giải tích và các bài toán số học Để hiểu rõ hơn, mời các bạn tham khảo chi tiết nội dung bài viết này. | CHUỖI ĐIỀU HÒA Kiều Đình Minh THPT Chuyên Hùng Vương Phú Thọ 1. Mở đầu Chuỗi điều hoà 1 X 1 1 1 D 1 C C C k 2 3 kD1 là một trong các chuỗi vô hạn nổi tiếng. Tổng riêng thứ n 1 1 1 Hn D 1 C C C C 2 3 n được gọi là số điều hoà. Dãy .Hn được gọi là dãy số điều hoà hay dãy điều hoà . Chuỗi có dạng 1 X 1 1 1 D 1 C C C km 2m 3m kD1 với m 2 N còn gọi là chuỗi điều hoà bậc m. Chuỗi điều hoà tổng quát là chuỗi có dạng 1 X 1 với a 0 b là các số thực. Ngoài ra ak C b kD1 1 X . 1 kC1 1 1 1 D1 C C k 2 3 4 kD1 gọi là chuỗi điều hoà đan dấu. Trong các công trình nghiên cứu của nhiều nhà toán học đôi khi có liên quan đến chuỗi điều hoà và trong các kỳ thi học sinh giỏi chúng ta cũng hay bắt gặp nó ở các bài toán khó. Có nhiều hướng tìm hiểu khác nhau đối với chuỗi này chẳng hạn như bài toán về đánh giá bài toán về giới hạn hay các bài toán về số học. . . Bài viết này chúng tôi sẽ trình bày một số kết quả cơ bản về chuỗi điều hoà cũng như các bài toán liên quan mà chúng ta thường gặp trong các kỳ thi Olympic. 2. Các bài toán đại số Ví dụ 1. Đồng nhất thức Catalan Chứng minh rằng với mọi n 2 N ta có 1 1 1 1 1 1 1 1 C C D C C C 2 3 4 2n nC1 nC2 2n 133 Tạp chí Epsilon Số 06 12 2015 Chứng minh. Biến đổi vế trái ta có 1 1 1 1 1 1 V T D 1 C C C C 2 C C C 2 3 2n 2 4 2n 1 1 1 1 1 1 D 1 C C C C 1 C C C C D VP 2 3 2n 2 3 n Đây là một đồng nhất thức khá đơn giản tuy nhiên lại có nhiều ứng dụng khi giải toán. Chúng ta sẽ bắt gặp điều này trong phần sau. Ví dụ 2. Với n 2 N cho 1 1 1 T1 T2 Tn Hn D 1 C C C C I Tn D H1 C H2 C C Hn I Un D C C C 2 3 n 2 3 nC1 Chứng minh rằng Tn D .n C 1 HnC1 .n C 1 và Un D .n C 2 HnC1 .2n C 2 . Chứng minh. Ta có 1 1 1 1 1 1 Tn D 1 C 1 C C 1C C C C 1 C C C C 2 2 3 2 3 n n n 1 n 2 1 nC1 nC1 nC1 D C C C C D 1 C 1 C C 1 1 2 3 n 1 2 n 1 1 1 D .n C 1 C C C n 1 2 n D .n C 1 Hn n D .n C 1 HnC1 .n C 1 và T1 T2 Tn Un D C C C D .H2 1 C .H3 1 C C .HnC1 1 2 3 nC1 D H2 C H3 C C HnC1 n D H1 C Tn C HnC1 n D .n C 2 HnC1 .2n C 2 Vậy bài toán được chứng minh. Ví dụ 3. Canada MO 1998
