Bài viết này trích từ bài giảng "Lý thuyết số từ cổ điển đến hiện đại" ở Viện nghiên cứu cao cấp về toán, hè 2015. Nội dung của bài viết tập trung vào khái niệm chuẩn Euclid trong vành số nguyên, vành số nguyên Gauss và các hệ quả số học của nó. Mời các bạn tham khảo! | CHUẨN EUCLID Ngô Bảo Châu Viện nghiên cứu cao cấp về toán - VIASM Bài viết này trích từ bài giảng quot Lý thuyết số từ cổ điển đến hiện đại quot ở Viện nghiên cứu cao cấp về toán hè 2015. Nội dung của bài viết tập trung vào khái niệm chuẩn Euclid trong vành số nguyên vành số nguyên Gauss và các hệ quả số học của nó. 1. Nguyên lý trật tự của tập các số tự nhiên Đối tượng nghiên cứu của lý thuyết số về cơ bản là tập các số tự nhiên N D f0 1 2 g. Vì các số tự nhiên dường như quá quen thuộc chúng ta ít có ý thức rằng bản thân các số tự nhiên cũng cần được định nghĩa được xây dựng một cách chặt chẽ. Xây dựng các số tự nhiên một cách chặt chẽ là một vấn đề trung tâm hóc búa của cơ sở toán học. Ở đây ta sẽ không đề cập đến vấn đề này một cách có hệ thống mà chỉ điểm lại một số tính chất của tập các số tự nhiên mà ta sẽ công nhận như những tiên đề. Tập số tự nhiên N chứa ít nhất hai phần tử 0 và 1. Tập này được trang bị phép cộng .x y 7 xCy. Quan hệ thứ tự x lt y cho bởi x lt y khi và chỉ khi tồn tại z 2 N với z 0 sao cho x C z D y là một quan hệ thứ tự tuyến tính theo nghĩa với mọi x y hoặc x lt y hoặc y lt x. Tập N với quan hệ thứ tự tuyến tính thoả mãn nguyên lý trật tự well-ordering principle mọi tập con không rỗng S N đều chứa một phần tử cực tiểu . tồn tại a 2 S sao cho a x với mọi x 2 S. Nguyên lý trật tự thực chất là một phiên bản của nguyên lý quy nạp quen thuộc. 2. Ước chung lớn nhất Phép chia có dư của Euclid là một phép toán cơ bản của số học. Sự tồn tại của phép toán này dựa vào khẳng định cho a b là hai số nguyên với b 0 khi đó tồn tại duy nhất q r 2 Z với a D bq C rI sao cho r thoả mãn 0 r lt jbj. Để chứng minh khẳng định này ta xét tập S tất các số tự nhiên x 2 N sao cho x a mod b ta theo quy ước 0 là số tự nhiên . Tập S chứa a cho nên nó là tập không rỗng. Theo nguyên lý trật tự S chứa một phần tử cực tiểu mà ta sẽ ký hiệu là r. Ta sẽ chứng minh r lt jbj bằng phản chứng. Thật vậy nếu r jbj thì r jbj sẽ là một phần tử của S nhỏ hơn hẳn r và do đó .
