Bài viết trình bày các số k-phương .mod p/ trong đó p là số nguyên tố đóng vai trò cực kì quan trọng trọng trong lí thuyết số. Các số k phương đã được giới toán học quan tâm nghiên cứu từ xa xưa, đặc biệt là từ thế kỷ 17 cho đến nay đã có rất nhiều công trình lí thuyết số nghiên cứu về tính chất và ứng dụng của số k-phương. | THẶNG DƯ BẬC HAI MODULO M Nguyễn Hồng Lữ - Trường THPT Chuyên Lương Thế Vinh - Đồng Nai LỜI GIỚI THIỆU Các số k-phương .mod p trong đó p là số nguyên tố đóng vai trò cực kì quan trọng trọng trong lí thuyết số. Các số k phương đã được giới toán học quan tâm nghiên cứu từ xa xưa đặc biệt là từ thế kỷ 17 cho đến nay đã có rất nhiều công trình lí thuyết số nghiên cứu về tính chất và ứng dụng của số k-phương. Định nghĩa 1. Số k-phương .mod m Cho số nguyên dương m m 2 và số nguyên a sao cho .a m D 1. Nếu tồn tại số tự nhiên x sao cho x k a .mod m thì ta nói a là số k-phương module m hay nói a là số lũy thừa bậc k theo module m cũng có người nói a là thặng dư bậc k của m. Số chính phương mod m Cho số nguyên dương m 2 và số nguyên a sao cho .a m D 1. Nếu tồn tại số tự nhiên x sao cho x 2 a .mod p thì ta nói a là số chính phương module m cũng nói a là thặng dư bình phương của m Số k phương module nguyên tố đơn giản và hay gặp nhất chính là số 2-phương module nguyên tố mà trong ngôn ngữ lí thuyết số ta gọi là thặng dư bậc hai theo module nguyên tố hay số chính phương mod p nguyên tố. 1. Thặng dư bậc hai modulo p . Khái niệm Cho số nguyên m cho số nguyên tố lẻ p Nếu phương trình x 2 a .mod p có nghiệm nguyên thì ta nói a là số chính phương module m cũng nói a là thặng dư bình phương của m . Nếu phương trình x 2 a .mod p không có nghiệm nguyên thì ta nói a là số phi chính phương module m cũng nói a không phải là thặng dư bình phương của m . Nếu a 0 .mod m thì ta nói a không phải là số chính phương module m đồng thời a không phải là số phi chính phương module m. Kí hiệu aQRp a là số chính phương module p viết tắt chữ quadratic residue aNRp a là số phi chính phương module p viết tắt chữ quadratic nonresidue Ví dụ . Vì 52 4 .mod 7 nên 4 là số chính phương module 7 hay 4QR7 131 Tạp chí Epsilon Số 05 10 2015 Vì 52 3 .mod 1 1 nên 3 là số chính phương module 11 hay 3QR11 Vì a2 6 2 .mod 3 với mọi số nguyên a nên 2 là số phi chính phương module 3 hay 2NR3. Vì b 2 6 3 .mod 7 với
