Trong bài này, giới thiệu một số kết quả cơ bản của lý thuyết xấp xỉ Diophantine trên tập số thực R, cùng với một trong những công cụ mạnh nhất của nó: Liên phân số. Để hiểu rõ hơn, mời các bạn tham khảo chi tiết nội dung bài viết này. | XẤP XỈ DIOPHANTINE VÀ LIÊN PHÂN SỐ Lý Ngọc Tuệ Đại học South Florida Mỹ Trong bài này chúng tôi giới thiệu một số kết quả cơ bản của lý thuyết xấp xỉ Diophantine trên tập số thực R cùng với một trong những công cụ mạnh nhất của nó Liên phân số. 1. Xấp xỉ Diophantine là gì Lý thuyết xấp xỉ Diophantine có thể bắt đầu với câu hỏi vấn đề cơ bản sau p Câu hỏi . Mỗi số vô tỉ x 2 R n Q có thể được xấp xỉ bởi các số hữu tỉ q 2 Q tốt đến thế nào Vì tập hợp các số hữu tỉ dày đặc trong tập các số thực ta có được kết luận đầu tiên Quan sát . Gọi x 2 R X Q là một số vô tỉ bất kỳ. Với mọi quot gt 0 tồn tại vô số số hữu tỉ p q 2 Q sao cho ˇ ˇ ˇx p ˇ lt quot ˇ ˇ ˇ qˇ Vậy ta có thể lượng hóa được độ dày đặc của tập số hữu tỉ trong tập số thực không Để làm được như vậy ta cần phải có cách đo độ phức tạp của các số hữu tỉ và ước lượng mức độ dày đặc của tập số hữu tỉ theo độ phức tạp ấy. Lưu ý rằng vì ta đo độ dày đặc nên với mỗi số hữu tỉ pq độ lớn của mẫu số q đóng vai trò quan trọng hơn là tử số p. Vì thế một trong những cách đơn giản nhất để đo độ phức tạp của phân số pq là giá trị tuyệt đối jqj của mẫu số. Để cho đơn giản ta sẽ giả sử là phân số pq có mẫu số dương q gt 0. Vì hai phân số có mẫu số bằng q liên tiếp cách nhau đúng bằng q1 ta có được p Quan sát . Với mọi số vô tỉ x 2 R X Q tồn tại vô số số hữu tỉ q 2 Q với q gt 0 sao cho ˇ ˇ ˇx p ˇ lt 1 ˇ ˇ ˇ q ˇ 2q 1 Câu hỏi tiếp theo được đặt ra là hàm số 2q trong Quan sát đã là tối ưu chưa Hay nói một cách khác ta có thể xấp xỉ số vô tỉ tốt hơn Quan sát được không Nhà toán học vĩ đại Leonhard Euler đã trả lời câu hỏi này vào năm 1748 khi ông phát triển lý thuyết về liên phân số với định lý sau đây p Định lý Euler 1748 3 . Với mọi số vô tỉ x 2 R X Q tồn tại vô số số hữu tỉ q 2 Q với q gt 0 sao cho ˇ ˇ ˇx p ˇ lt 1 ˇ ˇ ˇ q ˇ q2 25 Tạp chí Epsilon Số 04 08 2015 Lưu ý . Định lý thường được gọi là Định lý Dirichlet theo tên của nhà toán học Peter Gustav Lejeune Dirichlet mặc dù ông chứng minh lại kết .
