Nghiên cứu trình bày đôi chút về lịch sử định lý, các cách chứng minh định lý, cách chứng minh của Lagrange và chứng minh của . Để hiểu rõ hơn, mời các bạn tham khảo chi tiết nội dung chính của bài viết này. | ĐỊNH LÝ FERMAT-EULER VỀ TỔNG HAI BÌNH PHƯƠNG V. Tikhomirov Trần Nam Dũng dịch từ tạp chí Kvant bản dịch năm 1995 Các bạn hãy để ý xem những số nguyên tố đầu tiên 3 5 7 11 13 17 19 Các số 5 13 và 17 có thể biểu diễn được dưới dạng tổng của hai bình phương 5 D 12 C 22 13 D 22 C 32 17 D 12 C 42 còn các số còn lại .3 7 11 19 thì không thể biểu diễn được. Có thể bằng cách nào đó giải thích điều đó hay không Có và đúng hơn là ta có định lý sau Định lý . Điều kiện cần và đủ để một số nguyên tố có thể biểu diễn được dưới dạng tổng của hai bình phương là số dư trong phép chia số ấy cho 4 bằng 1. Thật thế 5 D 4 1 C 1 13 D 4 3 C 1 17 D 4 4 C 1 còn 3 D 4 0 C 3 7 D 4 1 C 3 11 D 4 2 C 3 19 D 4 4 C 3 1. Đôi chút về lịch sử định lý Ai là người đầu tiên phát hiện ra điều này và khi nào Vào dịp Noel năm 1640 trong thư đề ngày 25 12 1640 nhà toán học vĩ đại Pier Fermat 1601-1665 đã thông báo cho Mersenne bạn thân của Descartes và là liên lạc viên chính của các nhà bác học đương thời rằng Mọi số nguyên tố có số dư trong phép chia cho 4 bằng 1 đều có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng tổng của hai bình phương . Thời đó chưa có các tạp chí toán học tin tức được trao đổi qua các lá thư và các kết quả thông thường chỉ được thông báo mà không kèm theo chứng minh. Thực ra thì sau gần 20 năm sau bức thư đó trong bức thư gửi cho Carcavi được gửi vào tháng 8 năm 1659 Fermat đã tiết lộ ý tưởng của phép chứng minh định lý trên. Ông viết rằng ý tưởng chính của phép chứng minh là dùng phương pháp xuống thang cho phép từ giả thiết rằng định lý không đúng với p D 4k C 1 suy ra nó không đúng với một số nhỏ hơn . . . cuối cùng ta sẽ đi đến số 5 mà khi đó rõ ràng là mâu thuẫn. Những cách chứng minh đầu tiên được Euler 1707-1783 tìm ra trong khoảng 1742-1747. Hơn nữa để tỏ rõ vị trí của Fermat người mà ông hết sức kính trọng Euler đã tìm ra phép chứng minh dựa theo đúng ý tưởng trên đây của Fermat. Vì vậy ta gọi định lý này là định lý Fermat-Euler. Những kết quả toán học thường có một tính .
