Trong bài viết nhỏ này xin được giới thiệu với bạn đọc một bất đẳng thức rất thú vị, có thể phát biểu ở nhiều dạng khác nhau. Để hiểu rõ hơn, mời các bạn tham khảo chi tiết nội dung bài viết này. | MỘT BẤT ĐẲNG THỨC THÚ VỊ Nguyễn Văn Huyện Đại học GTVT Tp. HCM Trong bài viết nhỏ này tác giả xin được giới thiệu với bạn đọc một bất đẳng thức rất thú vị có thể phát biểu ở nhiều dạng khác nhau. Bài toán 1. Tìm hằng số k lớn nhất sao cho bất đẳng thức 1 1 1 k C C .1 a2 b2 c2 jab C bc C caj luôn đúng với mọi số thực a b c thỏa mãn abc 0 và a C b C c D 0 Nguyễn Văn Huyện Lời giải 1. Từ giả thiết ta có c D .a C b nên ab C bc C ca D ab .a C b 2 D .a2 C ab C b 2 lt 0 Do đó ta có thể viết bất đẳng thức .1 lại như sau 1 1 1 k 2 C 2C 2 2 a b .a C b a C ab C b 2 27 27 Từ đây cho a D b ta được k 4 Ta sẽ đi chứng minh kmax D 4 tức chứng minh 1 1 1 27 2 C 2C 2 a b .a C b C ab C b 2 2 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có 3 a2 C ab C b 2 .a C b 2 4 nên 27 9 2 C ab C b .a C b 2 Như vậy để hoàn tất lời giải thì ta cần chỉ ra 1 1 8 C a2 b2 .a C b 2 Là một bất đẳng thức đúng vì 1 1 8 .a b 2 .a2 C 4ab C b 2 C D gt 0 a2 b2 .a C b 2 a2 b 2 .a C b 2 Đẳng thức xảy ra khi .a b c là hoán vị của .t t 2t và . t t 2t với t gt 0 Lời giải của ta được hoàn tất. 101 Tạp chí Epsilon Số 04 08 2015 Lời giải 2. Ở đây ta sẽ chứng minh 1 1 1 27 2 C 2C 2 a b c 4jab C bc C caj Thật vậy ta có biến đổi 1 1 1 27 .ab C bc C ca 2 C 2 C 2 .1 1 a b c 4 Vì a C b C c D 0 nên a2 C b 2 C c 2 D C bc C ca do đó .1 1 tương đương 2 2 2 1 1 1 27 .a C b C c 2 C 2 C 2 .1 2 a b c 2 Như vậy thay vì chứng minh .1 1 ta sẽ chứng minh .1 2 Đặt a b c a b c uD C C vD C C b c a c a b ta thấy cCa aCb bCc uCv D C C D 3 b c a Ta cần chứng minh 27 u2 2v C v 2 2u C 3 2 hay 27 u2 C v 2 C v C 3 2 9 u2 C v 2 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có .u C v 2 9 u2 C v 2 D 2 2 Chứng minh hoàn tất. Qua 2 lời giải trên ta thấy đây là một bài toán khá dễ và không có gì để bàn về những chứng minh của nó vì chúng ta chỉ cần sử dụng những kiến thức cơ bản. Tuy nhiên chúng ta hãy cùng để ý đến nhưng phát triển tiếp theo sau đây. Vì a C b C c D 0 nên C bc C ca D .a2 C b 2 C c 2 lt 0 nên .1 1 còn một dạng tương đương sau 1 1
