Nội dung chính của bài viết giúp bạn khám phá chứng minh định lí bướm đơn và định lí bướm kép cho tứ giác. Các kết quả này là mở rộng các kết quả trong của tác giả Zvonko Cerin. Để hiểu rõ hơn, mời các bạn tham khảo chi tiết nội dung bài viết này. | ĐỊNH LÝ BƯỚM KÉP ĐỐI VỚI TỨ GIÁC NGUYỄN NGỌC GIANG TP. HỒ CHÍ MINH TRỊNH HUY VŨ THPT CHUYÊN KHTN HÀ NỘI Tóm tắt Chúng ta sẽ khám phá chứng minh định lí bướm đơn và định lí bướm kép cho tứ giác. Các kết quả này là mở rộng các kết quả trong 1 của tác giả Zvonko Cerin. 1. Định lí bướm đơn đối với tứ giác Zvonko Cerin 1 đã chứng minh được kết quả sau gọi là định lí bướm đơn đối với tứ giác Định lý 1 Định lí bướm đơn đối với tứ giác . Cho A0 B 0 C 0 D0 là tứ giác nội tiếp của ABCD. Giả sử ABCD và A0 B 0 C 0 D0 cùng chung giao điểm của các đường chéo. U và V lần lượt là các giao điểm của đường thẳng AC với các đường thẳng D0 A0 và B 0 C 0 . Định lí con bướm đối với tứ giác được thiết lập AU IV AI . . 1 UI V C IC Zevonko Cerin cũng đã mở rộng hệ thức 1 thành định lí tổng quát sau Định lý 2. Gọi A0 B 0 C 0 D0 là tứ giác nội tiếp của ABCD. E là giao của A0 C 0 và B 0 D0 . I là giao của AC và BD. U là giao của AC và D0 A0 . V là giao của AC và B 0 C 0 . Nếu E nằm trên đường thẳng AC thì AU EV AI . . 2 UE V C IC 205 Tạp chí Epsilon Số 03 06 2015. Cerin chứng minh hệ thức 2 bằng phương pháp tọa độ với sự trợ giúp của phần mềm Maple. Cách chứng minh của Cerin có ưu điểm là cách chứng minh có tư duy thuật toán. Nhược điểm của nó là lời giải dài tính toán phức tạp. Chính vì thế để khắc phục nhược điểm này chúng tôi đã nghiên cứu và đưa ra cách chứng minh thuần túy hình học. J D C V C F M I D U E A B H A B G Chứng minh định lý 2. Đặt B 0 D0 cắt AB tại F A0 C 0 cắt AD tại G F G cắt AC tại H F G cắt B 0 C 0 tại J A0 C 0 cắt BD tại M. Xét AF G và CB 0 C 0 có AC F B 0 GC 0 đồng quy tại E. Theo định lí Desargues suy ra J D B thẳng hàng. Nói cách khác là J nằm trên BD. Xét tứ giác toàn phần AD0 EA0 F G ta có HA UA HU AE 1 suy ra . HE UE Từ đây ta có HI AE G HI AE JI DM C 0 JI DM V I CE . Suy ra HA IE V C IE AU EV AI . . suy ra . . HE IA V E IC UE V C IC 206 Tạp chí Epsilon Số 03 06 2015. Đây chính là điều phải chứng minh. 2. Định lí bướm kép đối với tứ giác Từ định lí 1 chúng tôi nảy .
