Tóm tắt lý thuyết Hàm phức toán tử cung cấp cho người học những kiến thức như: số phức; hàm biến phức; tích phân của hàm phức; thặng dư; phép biến đổi laplace. Mời các bạn cùng tham khảo! | TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT KHOA ĐIỆN ĐIỆN TỬ TÓM TẮT LÝ THUYẾT HÀM PHỨC TOÁN TỬ BIÊN SOẠN VĂN HOÀNG PHƯƠNG LƯU HÀNH NỘI BỘ CHƯƠNG 1 SỐ PHỨC 1. Dạng đại số của số phức Số phức là các số có dạng z x iy trong đó x y là các số thực còn i là đơn vị ảo. Tập hợp tất cả các số phức được ký hiệu là C. Vậy C x iy x y R Trên tập hợp C ta định nghĩa các phép toán cộng và nhân số phức như sau x iy x iy x x y y i x iy . x iy xx yy xy x y i Dễ dàng kiểm tra được các phép toán và . đều có tính giao hoán và kết hợp. Phép cộng có phần tử trung hoà là 0 và phép nhân có phần tử trung hoà là 1. Từ định nghĩa ta suy ra i2 0 . 0 i -1. Các số phức thường được ký hiệu ngắn gọn bằng chữ cái z. Ta thường viết Cho số phức z x iy . Với số phức z x iy thì a được gọi là phần thực của z và được ký hiệu là x Re z y được gọi là phần ảo của z và được ký hiệu là y Im z . Với số phức z x iy thì số phức z x iy được gọi là phức liên hợp của z. Ta có các tính chất cơ bản sau đây 1 z z 2 x x 2 y 2 2 z z z z Đại lượng a 2 b 2 được gọi là mô-đun của số phức z và được ký hiệu là z . Ta có các tính chất cơ bản sau chứng minh 1 z . z 2 z z z z Một một số phức z khác 0 đều có nghịch đảo của nó. Cụ thể từ đẳng thức z 2 ta dễ dàng suy ra z z 1 z 2 Từ đây ta cũng suy ra quy tắc chia hai số phức như sau z 1 . z z 2 Phép luỹ thừa các số phức được thực hiện bằng phép nhân tuần tự. Cuối cùng ta xét bài toán khai căn số phức. Ví dụ tìm căn bậc hai của số phức 1 i tức là tìm số phức z x iy sao cho z2 1 i. Ta có z2 1 i x2 y2 1 i x2 y2 1 2xy 1. Giải hệ này ta tìm được 2 giá trị của z là 1 z 2 2 2 i 2 2 2 2 Bằng phương pháp này ta có thể tìm được căn bậc hai của một số phức z bất kỳ. Tuy nhiên việc áp dụng phương pháp tương tự cho các căn bậc lớn hơn gặp nhiều khó khăn. Rất may mắn là để giải quyết vấn đề căn bản này ta có thể sử dụng dạng lượng giác. 2. Dạng lượng giác của số phức Số phức z x iy có thể biểu diễn như điểm M có toạ độ x y trong mặt phẳng Oxy. Ta gọi
