Dòng độ cong trung bình (mean curvature flow) là họ một tham số các siêu mặt di chuyển (flow) theo hướng vector pháp với vận tốc bằng độ cong trung bình của mặt. Trường hợp 1-chiều của dòng độ cong trung bình, khi các mặt là các đường cong, được gọi là dòng các đường cong (curve shortening flow). | DÒNG ĐỘ CONG TRUNG BÌNH MỞ RỘNG NGUYỄN THÀNH THÁI Khoa Toán học 1 GIỚI THIỆU Dòng độ cong trung bình mean curvature flow là họ một tham số các siêu mặt di chuyển flow theo hướng vector pháp với vận tốc bằng độ cong trung bình của mặt. Trường hợp 1-chiều của dòng độ cong trung bình khi các mặt là các đường cong được gọi là dòng các đường cong curve shortening flow . Các kết quả của dòng các đường cong thường gây bất ngờ và ngạc nhiên như bảo toàn tính lồi đường cong lồi co rút thành 1 điểm tròn quot . . . và được phát hiện bởi những tên tuổi lớn như Ecker Huisken Hamilton Grayson . . . Dòng độ cong trung bình mở rộng là các mở rộng của dòng độ cong trung bình. Ví dụ có thể xét họ các mặt di chuyển theo hướng của vector pháp dưới tác động của một đẳng cấu tuyến tính F . Theo cách xây dựng này dòng độ cong trung bình cổ điển là dòng độ cong trung bình suy rộng với F là ánh xạ đồng nhất. Do đó với dòng các đường cong việc xác định tính chất của ánh xạ F sao cho các tính chất của dòng cổ điển được bảo toàn và việc tìm nghiệm của của nó là các vấn đề đáng được quan tâm. 2 DÒNG ĐỘ CONG TRUNG BÌNH Định nghĩa 1. Cho họ các siêu mặt xác định bởi ánh xạ X M 0 T Rn 1 M X là tập mở trong Rn thỏa mãn x t H x t N x t x t M 0 T t n P trong đó N là vectơ pháp đơn vị H λi với λi là các độ cong chính là độ cong i 1 trung bình của siêu mặt. Họ các siêu mặt như trên được gọi là nghiệm của dòng độ cong trung bình hay mặt X x 0 chuyển động theo dòng độ cong trung bình . Trong trường hợp 1 chiều ta gọi họ các đường cong X u t a b 0 T R2 X thỏa mãn Xt với k là độ cong và N là vectơ pháp đơn vị của t Kỷ yếu Hội nghị Khoa học Sinh viên năm học 2014-2015 Trường Đại học Sư phạm Huế tháng 12 2014 tr. 30-36 DÒNG ĐỘ CONG TRUNG BÌNH MỞ RỘNG 31 đường là nghiệm của dòng các đường cong. Chú ý rằng vectơ pháp đơn vị ở 2 định nghĩa này được quy ước là các vectơ quot hướng vào trong quot . Trong trường hợp dòng các đường cong nếu xét tham số hóa độ dài cung s Xu và áp dụng công thức Frenet
