Hàm lồi có vai trò quan trọng trong giải tích lồi và có nhiều ứng dụng trong các bài toán tối ưu lồi. Trong bài viết này, chúng tôi sử dụng khái niệm của đạo hàm Schwarz trên cấp hai cho việc cung cấp điều kiện đủ về tính lồi của hàm giá trị thực f xác định trên khoảng K tùy ý trong R. | CÁC ĐẶC TRƯNG CẤP HAI CỦA TÍNH LỒI CHO CÁC HÀM KHÔNG TRƠN VỚI ĐẠO HÀM SCHWARZ TRÊN Trần Văn Sự1 Võ Văn Minh2 Tóm tắt Hàm lồi có vai trò quan trọng trong giải tích lồi và có nhiều ứng dụng trong các bài toán tối ưu lồi. Trong bài báo này chúng tôi sử dụng khái niệm của đạo hàm Schwarz trên cấp hai cho việc cung cấp điều kiện đủ về tính lồi của hàm giá trị thực f xác định trên khoảng K tùy ý trong R. Sử dụng khái niệm này chúng tôi thiết lập điều kiện đủ về tính lồi của hàm thực f xác định trên một tập lồi . tùy ý trong không gian định chuẩn thực X dưới các giả thiết phù hợp về các đạo hàm theo hướng dưới cấp hai và đạo hàm theo hướng dưới Hadamard. Từ khóa Hàm lồi Tập lồi Đạo hàm Schwarz trên cấp hai Đạo hàm theo hướng dưới cấp hai Đạo hàm theo hướng dưới Hadamard. 1. Mở đầu Xuyên suốt bài báo này chúng tôi ký hiệu bởi X . là một không gian định chuẩn thực K là một khoảng tùy ý với phần trong intK khác rỗng trong không gian các số thực R và cho một tập con lồi C của X nghĩa là với mọi x y C đoạn thẳng nối 2 điểm x y được ký hiệu bởi x y luôn nằm trong C . Giả sử rằng int C là tập con không rỗng trong X. Có hai câu hỏi đặt ra ở đây cần được giải quyết như sau Câu hỏi 1 Tìm điều kiện đủ cấp hai để hàm giá trị thực K R là lồi nghĩa là với mọi x y K t 0 1 bất đẳng thức sau nghiệm đúng f tx 1 t y tf x 1 t f y . Câu hỏi 2 Tìm điều kiện đủ cấp hai để hàm giá trị thực f C R là lồi. Được biết nếu f khả vi liên tục 2 lần thì nếu f x 0 với mọi x nằm trong miền xác định của hàm giá trị thực f thì f là lồi. Vấn đề chúng tôi đang quan tâm ở đây là trong trường hợp f là hàm không trơn nhưng liên tục khi đó vấn đề trên được giải quyết thế nào Chúng có còn đúng như trong trường hợp đạo hàm cấp hai cổ điển không Theo thông tin trong các bài báo đã xuất bản cách đây rất lâu xem 1 2 3 6 chẳng hạn các đặc trưng chủ yếu các đặc trưng cấp 1 về điều kiện đủ của tính lồi tổng quát của các hàm giá trị thực mở rộng đã được nghiên cứu khá đầy đủ chi tiết. Tuy nhiên đối với các đặc trưng cấp .
