Bài viết giới thiệu một số phát triển của các định lý đó trong khoảng thời gian 50 năm trở lại đây. Đồng thời cũng nêu ra một số áp dụng các định lý giá trị trung bình cho các bài toán tích phân, trong đó có những bài thi Olympic sinh viên Việt Nam. Mời các bạn cùng tham khảo! | Hội thảo khoa học Ninh Bình 15-16 09 2018 C ÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH TRONG TÍCH PHÂN Vũ Tiến Việt Học viện An ninh nhân dân Tóm tắt nội dung Các định lý giá trị trung bình đóng một vai trò quan trọng trong Giải tích Toán học. Chúng tôi xin giới thiệu một số phát triển của các định lý đó trong khoảng thời gian 50 năm trở lại đây. Chúng tôi cũng nêu ra một số áp dụng các định lý giá trị trung bình cho các bài toán tích phân trong đó có những bài thi Olympic sinh viên Việt Nam. 1 Các định lý kinh điển Trước hết ta nhắc lại các định lý giá trị trung bình cho hàm khả vi kinh điển là Fermat Rolle Lagrange Cauchy. 1. Định lý Fermat1 Giả sử hàm f a b R liên tục trên a b đạt cực trị địa phương tại điểm x0 a b và khả vi tại x0 . Khi đó f 0 x0 0. 2. Định lý Rolle2 Năm 1691 Rolle đưa ra định lý sau mang tên ông Giả sử hàm f a b R liên tục trên a b khả vi trong a b và f a f b . Khi đó tồn tại điểm c a b để f 0 c 0. 3. Định lý Lagrange3 Giả sử hàm f a b R liên tục trên a b khả vi trong a b . Khi đó tồn tại điểm c a b sao cho f b f a f 0 c . b a 4. Định lý Cauchy4 1 Pierrede Fermat 1601-1665 nhà toán học người Pháp. 2 Michel Rolle 1652-1719 nhà toán học người Pháp. 3 Joseph-Louis Lagrange 1736-1813 nhà toán học người Pháp. 4 Augustin-Louis Cauchy 1789-1857 nhà toán học người Pháp. 41 Hội thảo khoa học Ninh Bình 15-16 09 2018 Giả sử các hàm f g a b R liên tục trên a b khả vi trong a b đồng thời g0 x 6 0 x a b . Khi đó tồn tại điểm c a b sao cho f 0 c f b f a 0 . g c g b g a 5. Định lý giá trị trung bình tích phân thứ nhất Xét các hàm f g khả tích trên a b và gọi m inf f x M sup f x . Nếu g là x a b x a b hàm không âm hoặc không dương trên a b thì Z b Z b f x g x dx µ g x dx với µ m M . a a Hơn nữa nếu f C a b thì ξ a b sao cho Z b Z b f x g x dx f ξ g x dx. a a 6. Định lý giá trị trung bình tích phân thứ hai Xét các hàm f g khả tích và g là hàm đơn điệu trên a b . Khi đó ξ a b sao cho Z b Z ξ Z b f x g x dx g a f x dx g b f x dx. a a ξ Nhận xét 1. Các định lý trên đây có ý .
