Bài viết "Định lý Miquel và các áp dụng liên quan" trình bày định lí Miquel cùng một số tính chất và áp dụng liên quan về đường tròn Miquel của tứ giác toàn phần, đường thẳng Simson, định lí Mannheim, . Mời các bạn cùng tham khảo! | Hội thảo khoa học Ninh Bình 15-16 09 2018 ĐỊNH LÝ MIQUEL VÀ CÁC ÁP DỤNG LIÊN QUAN Nguyễn Trường Sơn Trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy Ninh Bình Tóm tắt nội dung Báo cáo trình bày định lí Miquel cùng một số tính chất và áp dụng liên quan. 1 Định lí Miquel và một số tính chất liên quan Định lý 1. Cho tam giác ABC và các điểm D E F khác A B C theo thứ tự thuộc các đường thẳng BC CA AB. Khi đó a. Các đường tròn AEF CDE BDF cùng đi qua một điểm. b. Các đường tròn AEF CDE BDF ABC cùng đi qua một điểm khi và chỉ khi E F D thẳng hàng. Chứng minh. F A E M B D C a. Gọi M là giao điểm thứ hai của BDF CDE . Ta thấy ME MF ME MD MD MF CE CD BD BF 215 Hội thảo khoa học Ninh Bình 15-16 09 2018 CE BC BC BF AE AF mod π Vậy M thuộc đường tròn AEF . Điều đó có nghĩa là các đường tròn AEF CDE BDF cùng đi qua một điểm. b. Theo phần a ta có AEF CDE BDF cùng đi qua điểm M. Mặt khác DE DF DE CE CA AB BF DF MD MC CA AB BM DM MB MC AB AC mod π Vậy các điều kiện sau tương đương 1. Các đường tròn AEF CDE BDF ABC cùng đi qua một điểm. 2. M ABC 3. MB MC AB AC mod π 4. MB MC AB AC 0 mod π 5. DE DF 0 mod π 6. DE DF 7. D E F thẳng hàng. Chú ý. Khi D E F không thẳng hàng M được gọi là điểm Miquel của tam giác ABC và các điểm D E F. Khi Khi D E F thẳng hàng M được gọi là điểm Miquel của tam giác ABC và đường thẳng DEF. Tính chất 1. Cho tứ giác toàn phần ABCDEF. Khi đó đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABF DCF BCE ADE đồng quy. E A M D B C F 216 Hội thảo khoa học Ninh Bình 15-16 09 2018 Chứng minh. Gọi M là giao điểm thứ hai của hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABF và ADE. Khi đó ta có MA MC BA BC mod π và ME MA FE FA mod π . Suy ra ME MB ME MA MA MB DE DA FA FB CE DA DA CB CE CB mod π Do đó đường tròn ngoại tiếp tam giác CBE đi qua điểm M. Chứng minh tương tự ta cũng suy ra được đường tròn ngoại tiếp các tam giác CDF đi qua điểm M. Nhận xét 1. Trong trường hợp đặc biệt tứ giác ABCD nội tiếp thì ba điểm M E F thẳng hàng và M chính là hình chiếu của G giao điểm của BD và AC lên EF. Đặc biệt là .
