Tứ giác điều hòa đưa vào nội dung giảng dạy các trường Trung học phổ thông chuyên. Để giúp các thầy cô hiểu rõ thêm và tứ giác đặc biệt này, bài viết xin giới thiệu: khái niệm, tính chất và các bài toán áp dụng. Mời các bạn cùng tham khảo! | Hội thảo khoa học Hưng Yên 25-26 02 2017 TỨ GIÁC ĐIỀU HÒA Nguyễn Bá Đang Hội toán học Hà Nội Tóm tắt nội dung Tứ giác điều hòa đưa vào nội dung giảng dạy các trường Trung học phổ thông chuyên. Để giúp các thầy cô hiểu rõ thêm và tứ giác đặc biệt này xin giới thiệu khái niệm tính chất và các bài toán áp dụng. 1 Định nghĩa AB CB Định nghĩa 1. Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đồng thời thỏa mãn điều kiện AD CD được gọi là tứ giác điều hòa. Ví dụ 1. Cho đường tròn O và điểm M. Từ M kẻ tiếp tuyến MA MB và cát tuyến MCD MC lt MD với đường tròn O . Chứng minh tứ giác ADBC là tứ giác điều hòa. Lời giải. MA MB là tiếp tuyến với đường tròn O ADC MAC MAC và MDA đồng dạng g g tương tự MBC MDB đồng dạng MA MB suy ra tứ giác ADBC là tứ giác điều hòa. Nhận xét 1. Tứ giác ABCD là tứ giác điều hòa khi tiếp tuyến tại A và C và đường thẳng BD đồng quy hoặc tiếp tuyến tại A và C cùng song với đường thẳng BD. Đây là cách dựng tứ giác điều hòa đơn giản mỗi khi ta gặp bài toán xuất hiện tứ giác điều hòa. 39 Hội thảo khoa học Hưng Yên 25-26 02 2017 2 Tính chất Tính chất 1. Tứ giác ABCD là tứ giác điều hòa thì 2AB CD 2BC AD. Chứng minh. ABCD là tứ giác điều hòa Mặt khác ABCD là tứ giác nội tiếp theo định lý Ptolemy AC BD 2AB CD 2BC AD. Tính chất 2. Tứ giác ABCD là tứ giác điều hòa nội tiếp đường tròn O tiếp tuyến tại A MD ED và C cắt nhau tại M AC cắt BD tại E thì . MB EB MD S CD sin DCM ED S AD sin DAE Chứng minh. Ta có MCD AED MB S MCB CB sin BCM EB S ABE AB sin BAE ABCD nội tiếp đường tròn O và MA MC là tiếp tuyến nên sin BCM sin BAC AD CD sin BAE sin DCM sin DAE ABCD là tứ giác điều hòa. Suy ra và AB CB MD ED . MB EB MD ED Đăt MEDB . MB EB Tính chất 3. Tứ giác điều hòa ABCD đường phân giác các góc BAD BCD và đường thẳng BD đồng quy. Chứng minh. Giả sử đường phân giác góc BAD cắt BD tại E theo tính chất đường phân giác suy EB AB AB CB CB BE ra . ABCD là tứ giác điều hòa nên và . Suy ra CE là ED AD AD CD CD ED phân giác của góc BCD đpcm . Tính chất 4. ABCD là tứ giác điều hòa M là
