Bài viết "Một số ứng dụng của định lý Lagrange" có nội dung trình bày về các hệ quả của định lý Lagrange và đưa ra một số ứng dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình, chứng minh bất đẳng thức, tìm giới hạn của dãy số, . Mời các bạn cùng tham khảo! | Hội thảo khoa học Hưng Yên 25-26 02 2017 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ L AGRANGE Phạm Văn Dũng - Hoàng Thị Minh Thúy THPT Chuyên Hưng Yên 1 Định lý Lagrange Định lý 1 Định lý Lagrange . Nếu hàm số f x liên tục trên a b và có đạo hàm trên khoảng a b thì tồn tại c a b sao cho f b f a f 0 c . b a Ý nghĩa hình học Định lý này khẳng định với giả thiết của hàm số f nêu ở trên thì luôn luôn tồn tại ít nhất một điểm thuộc đồ thị y f x mà tại điểm đó tiếp tuyến song song với đường thẳng nối hai điểm đầu và cuối của đồ thị như hình vẽ minh họa . Ta thường dùng các hệ quả sau đây của định lý Lagrange. Hệ quả 1. Nếu hàm số f x liên tục trên a b và có đạo hàm trên khoảng a b ngoài ra f a f b thì tồn tại c a b sao cho f 0 c 0. Đặc biệt nếu hàm f thỏa mãn định lý trên đồng thời f a f b 0 thì giữa hai nghiệm của phương trình f x 0 có ít nhất một nghiệm của f 0 x 0. Hệ quả 2. Nếu hàm số f x có đạo hàm trên a b và phương trình f 0 x 0 có duy nhất nghiệm trên đoạn ấy thì trên a b phương trình f x không thể có quá hai nghiệm. Chứng minh. Giả thiết phản chứng f x 0 có quá hai nghiệm và do đó ta có thể giả sử phương trình ấy có quá ba nghiệm vì nếu nó có nhiều nghiệm hơn nữa thì lập luận không thay đổi . Gọi x1 x2 x3 a x1 lt x2 lt x3 b là ba nghiệm ấy. Theo hệ quả 1 tồn tại c1 c2 x1 lt c1 lt c2 x3 sao cho f 0 c1 f 0 c2 0. 1 Đẳng thức 1 chứng tỏ rằng c1 c2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình f 0 x 0 trên đoạn a b . Điều vô lý đó chứng tỏ giả thiết phản chứng là sai đpcm . 105 Hội thảo khoa học Hưng Yên 25-26 02 2017 Hệ quả 3. Nếu hàm f x liên tục trên a b và f 0 x 0 x a b . Khi đó f x const x a b . Chứng minh. Lấy xa0 tùy ý mà a lt xa0 b. Áp dụng định lí Lagrange trên a xa0 ta thấy tồn tại c a lt c lt xa0 sao mà f xa0 f a xa0 a f 0 c . Do f 0 c 0 suy ra f xa0 f a . 2 Đẳng thức 2 đúng với mọi xa0 mà a lt xa0 b và đó chính là điều phải chứng minh. 2 Một số ứng dụng Chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình Ví dụ 1. Cho a0 a1 . . . an là các số thực và thỏa mãn điều kiện sau a1
