Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình qua các kì thi học sinh giỏi

Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình là một trong những dạng toán cũng thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi. Bài viết trình bày một số phương pháp cơ bản giải quyết các dạng toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình qua các kì thi học sinh giỏi gần đây. Mời các bạn cùng tham khảo! | Hội thảo khoa học Hưng Yên 25-26 02 2017 PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA CÁC KÌ THI HỌC SINH GIỎI Trần Thị Lan Hương THPT Chuyên Hưng Yên Tóm tắt nội dung Phương trình bất phương trình hệ phương trình là một trong những dạng toán cũng thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi. Báo cáo trình bày một số phương pháp cơ bản giải quyết các dạng toán phương trình bất phương trình hệ phương trình qua các kì thi học sinh giỏi gần đây. 1 Một số phương pháp thường dùng Để giải quyết các bài toán dạng phương trình bất phương trình hệ phương trình ta có thể chia thành 4 phương pháp chính như sau 1. Phương pháp biến đổi tương đương 2. Phương pháp đặt ẩn phụ 3. Phương pháp hàm số 4. Phương pháp đánh giá. Sau đây ta đi vào từng phương pháp cụ thể Phương pháp biến đổi tương đương p Bài toán 1 VMO - 2002 - Bảng A . Giải phương trình 4 3 10 3x x 2 1 74 10 Giải. Điều kiện x . 27 3 1 4 3 10 3x x2 4x 4 9 10 3x x2 4 x 2 x4 8x3 16x2 27x 29 0 x 3 x 2 x2 7x 15 0 x 3 Vì x2 7x 15 0 vô nghiệm và x -2 không thỏa mãn . Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 3. r r 1 1 Bài toán 2 CMO - 1998 . Giải phương trình x x 1 . x x Giải. Đk x gt 1. 2 2 r r r r 1 1 1 1 Phương trình x x 1 x x 1 x x x x p x 2 1 2 x x 2 1 x 0 x 2 1 x 2 0 x 2 1 x x 2 x 144 Hội thảo khoa học Hưng Yên 25-26 02 2017 1 0 1 5 1 5 x x không thỏa mãn . 2 2 1 5 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x . 2 Ở hai bài này đã sử dụng phương pháp biến đổi tương đương với kĩ thuật cơ bản là bình phương hai vế khi hai vế không âm thì bài toán được giải quyết. Bàiptoán 3 IMO - 1959 .p Với những giá trị thực nào của x thì mỗi đẳng thức sau là đúng a px 2 2x 1 px 2 2x 1 2. b p x 2 2x 1 p x 2 2x 1 1. c x 2 2x 1 x 2 2x 1 2. 2x 1 0 1 Giải. Đk x 2 2x 1 0 x . 2 x 2 2x 1 0 p p p Ta có p x 2 2x 1 x 2 2x 1 2 2x 2 x2 2x 1 2x 2 x 1 2 2x 2 x 1 . 1 a Phương trình tương đương với x x 1 1 x 1 1 x x 1. 2 1 1 1 1 1 b PT x x 1 x 1 x x . Mà điều kiện x x . 2 2 2 2 2 Thay vào phương trình không thỏa mãn. Vậy phương trình vô nghiệm. c Ta .