Trong báo cáo này trình bày kết quả khảo sát tương tự trong [1]-[2]. Trước hết ta xét bài toán về xác định các khoảng (α, β) với (−∞ ≤ α | Hội thảo khoa học Hưng Yên 25-26 02 2017 MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI VỚI HÀM PHÂN THỨC BẬC HAI TRÊN BẬC NHẤT Lê Thị Mai THPT An Lão Hải Phòng Tóm tắt nội dung Trong báo cáo này trình bày kết quả khảo sát tương tự trong 1 - 2 . Trước hết ta xét bài toán về xác định các khoảng α β với α lt β sao cho ứng với mọi g x hàm số bậc hai g x ax2 bx c a gt 0 trên bậc nhất dạng f x g d 6 0 x d ta đều có bất đẳng thức f u f v 0 0 u v u v α β u 6 v f v f v hoặc f u f v 0 0 u v u v α β u 6 v f v f v và xét các áp dụng liên quan. 1 Kết quả cơ bản Xét hàm số lồi khả vi ϕ x ϕ00 x 0 trên α β . Khi đó ta có Định lý 1 Bất đẳng thức Karamata . Xét hai dãy số xk yk a b k 1 2 . . . n thỏa mãn điều kiện x1 x2 x n y1 y2 y n và x1 y1 x1 x2 y1 y2 . x 1 x 2 x n 1 y 1 y 2 y n 1 x1 x2 x n y1 y2 y n Khi đó ứng với mọi hàm số lồi khả vi ϕ x ϕ00 x 0 trên α β ta đều có ϕ x1 ϕ x2 ϕ x n ϕ y1 ϕ y2 ϕ y n . Đẳng thức xảy ra khi xi yi i 1 2 . . . n. Ta cũng phát biểu tương tự đối với hàm số lõm bằng cách đổi chiều dấu bất đẳng thức. Chứng minh định lý Karamata dựa vào bổ đề cơ bản sau đây. 166 Hội thảo khoa học Hưng Yên 25-26 02 2017 Bổ đề 1 Bổ đề cơ bản xem 3-5 . Cho hàm số y ϕ x liên tục và có đạo hàm cấp 2 trên α β . a. Nếu ϕ00 x 0 x α β thì ϕ x ϕ0 x0 x x0 ϕ x0 x x0 α β . b. Nếu ϕ00 x 0 x α β thì ϕ x ϕ0 x0 x x0 ϕ x0 x x0 α β . Đẳng thức trong hai bất đẳng thức trên xảy ra khi x x0 . Nhận xét rằng để x d 6 0 với mọi x α β thì d α β . Điều này tương đương với hoặc d α hoặc d β. Từ đó suy ra Mệnh đề 1. Điều kiện cần để có bất đẳng thức với mọi u v α β và u 6 v là hoặc d α hoặc d β. Tiếp theo ta xác định điều kiện đủ để có . Ta có g d f x ax ad b x d và g d 2g d f 0 x a f 00 x . x d 2 x d 3 Trường hợp 1. Xét g d lt 0. Khi đó f 0 x gt 0 với mọi x 6 d. Ta có f 00 x gt 0 khi x lt d và f 00 x lt 0 khi x gt d. Vậy nên khi x lt d thì f 00 x gt 0 và f 0 x gt 0. Theo Bổ đề cơ bản ta ta có luôn đúng ứng với mọi u v lt d u 6 v. Khi x gt d thì f 00 x lt 0 và f 0 x gt 0. và luôn đúng với mọi u v gt d u
