Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 2: Véc tơ. Chương này cung cấp cho học viên những kiến thức về: véc tơ n – chiều; phép toán trên véctơ; không gian véctơ; sự độc lập tuyến tính, sự phụ thuộc tuyến tính; hạng và cơ sở của hệ véctơ cơ sở của không gian ℝn; . Mời các bạn cùng tham khảo! | Chƣơng 2 VÉC TƠ BÀI 1 VÉC TƠ N CHIỀU 1. Các khái niệm Định nghĩa Một véc tơ n chiều X là một bộ n số thực đƣợc sắp xếp theo thứ tự 1 2 đƣợc gọi là thành phần thứ i của vectơ X. Véctơ không n chiều 0 0 0 0 . Véctơ đối của véctơ X là 1 2 . Hai véctơ n chiều 1 2 và 1 2 bằng nhau nếu 1 2. Phép toán trên véctơ Cho hai véctơ 1 2 và 1 2 Phép cộng 1 1 2 2 Phép trừ 1 1 2 2 Nhân véctơ với một số thực 1 2 . 3. Không gian véctơ Định nghĩa Tập hợp tất cả các vectơ n chiều trong đó xác định phép cộng hai véctơ và phép nhân véctơ với một số thỏa mãn các tính chất cơ bản đƣợc gọi là không gian véctơ n chiều. Ký hiệu ℝ Ví dụ 1 Đƣờng thẳng là không gian véctơ 1 chiều ℝ1 . Tập các điểm trong mặt phẳng là không gian véctơ 2 chiều ℝ2 . Tập các điểm trong không gian là không gian véctơ 3 chiều ℝ3 . BÀI 2 SỰ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH SỰ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH. 1. Tổ hợp tuyến tính của 1 hệ m véctơ n chiều. Cho m véctơ n chiều 1 2 . Một tổng có dạng 1 1 2 2 ℝ Đƣợc gọi là một tổ hợp tuyến tính của m véctơ đã cho. 2. Sự ĐLTT PTTT của 1 hệ véc tơ a. Định nghĩa Hệ m véctơ n chiều 1 2 đƣợc gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại m số thực 1 2 không đồng thời bằng 0 sao cho 1 1 2 2 0. Ngƣợc lại nếu đẳng thức chỉ xảy ra khi và chỉ khi 1 2 0 thì hệ véctơ trên là độc lập tuyến tính. b. Ví dụ 2 Cho ba véctơ 1 2 3 2 1 2 3 4 7 Xét sự độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính của hệ véctơ a 1 2 b 1 2 3 c. Dấu hiệu nhận biết - Hệ gồm 1 véc tơ ĐLTT khi và chỉ khi véc tơ đó khác không. - Hệ gồm 2 véc tơ ĐLTT khi và chỉ khi 2 véc tơ đó không tỉ lệ - Hệ chứa véc tơ không là hệ PTTT - Một hệ chứa hai véc tơ tỉ lệ là PTTT - Một hệ là PTTT khi và chỉ khi có 1 véc tơ của hệ là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ còn lại. - Hệ có số véc tơ lớn hơn số chiều là PTTT BÀI 3 HẠNG VÀ CƠ SỞ CỦA HỆ VÉCTƠ CƠ SỞ CỦA KHÔNG GIAN ℝ sở và hạng của hệ véctơ Xét hệ m véctơ n chiều 1 2 Định nghĩa 1 Một hệ con gồm k véctơ k m đƣợc gọi là độc lập tuyến tính cực đại nếu hệ con đó là ĐLTT và nếu thêm vào hệ đó một véctơ bất kỳ trong số các
