Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 5: Hàm số, giới hạn và sự liên tục. Chương này cung cấp cho học viên những kiến thức về: định nghĩa và các phép tính trên hàm số; giới hạn hàm một biến và các tính chất, phép tính về giới hạn; sự liên tục của hàm một biến; . Mời các bạn cùng tham khảo! | Chƣơng 5 HÀM SỐ GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC 1. Hàm số . Định nghĩa Cho tập ℝ một hàm từ vào ℝ là một qui tắc đặt tƣơng ứng mỗi giá trị của với duy nhất một giá trị ℝ theo đẳng thức . D tập xác định của . Tập giá trị của hàm số Tập các cặp điểm trên hệ tọa độ Oxy gọi là đồ thị của hàm số. . Các phép tính trên hàm số a. Cộng trừ nhân chia b. Hàm hợp Cho hàm với TXĐ là và TGT . Hàm số với TXĐ là 1 và TGT là Nếu 1 thì ta có thể xác định hàm số từ vào nhƣ sau Hàm số này gọi là hàm số hợp của và . Kí hiệu Ví dụ 1 Cho 3 2 4 tan thì ta có hàm số hợp tan 3 2 4 c. Hàm ngƣợc Cho hàm số với TXĐ là và tập giá trị là . Nếu phƣơng trình có nghiệm duy nhất thì ta có thể xác định hàm số Thỏa mãn hàm g xác định nhƣ trên gọi là hàm số ngƣợc của hàm ký hiệu 1 . Ví dụ 2 Tìm hàm ngƣợc của hàm số 2 với 4 0 . . Các hàm số sơ cấp cơ bản a. Hàm lũy thừa ằ ố b. Hàm mũ 0 lt 1 c. Hàm lôgarit log 0 lt 1 d. Các hàm lƣợng giác sin cos tan cot e. Các hàm lƣợng giác ngƣợc 1 Hàm sin arcsin 2 2 tính theo đơn vị rad. Ví dụ -1 3 2 1 0 1 2 3 1 2 2 2 2 2 2 arcsin 0 2 3 4 6 6 4 3 2 Tính chất Tập xác định -1 1 Hàm arcsin đồng biến trên -1 1 Tập giá trị 2 2 2 Hàm cos arccos 0 tính theo đơn vị rad. Ví dụ -1 3 2 1 0 1 2 31 2 2 2 2 2 2 arccos 5 3 2 0 6 4 3 2 3 4 6 Tính chất Tập xác định -1 1 Hàm arccos nghịch biến trên -1 1 Tập giá trị 0 3 Hàm tan arctan 4 Hàm cot arccot . Hàm sơ cấp Định nghĩa Hàm đƣợc gọi là một hàm sơ cấp trên a b nếu f x đƣợc cho bởi một biểu thức giải tích biểu thức đó thu đƣợc từ các hàm sơ cấp cơ bản và hằng số nhờ một số hữu hạn các phép tính cộng trừ nhân chia và phép hợp hàm. Ví dụ 3 a. Hàm số sin 2 5 7 cos là hàm sơ cấp. b. Hàm số ln 1 . cos 2 1 là hàm sơ cấp ế gt 0 Ví dụ 4 Hàm số 0 ế 0 ế lt 0 không phải là hàm sơ cấp trên R. Nhƣng trên khoảng 0 hàm số là hàm sơ cấp. Trên khoảng 0 hàm số là hàm sơ cấp. 2. Giới hạn hàm một biến . Định nghĩa Cho hàm số xác định tại một lân cận của 0 hàm số có thể không xác định tại 0 . Ta nói hàm số dần tới số thực L nếu gt 0 gt 0 0 lt 0
