Bài viết Phương trình Hamilton - Jacobi với dữ kiện lõm - lỗi từng phần nghiên cứu về bài toán Cauchy cho phương trình Hamilton-Jacobi trong trường hợp Hamiltonian và dữ kiện ban đầu là các hàm lõm-lồi từng phần. | Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019. ISBN 978-604-82-2981-8 PHƯƠNG TRÌNH HAMILTON - JACOBI VỚI DỮ KIỆN LÕM - LỖI TỪNG PHẦN Nguyễn Hữu Thọ Trường Đại học Thủy lợi email nhtho@ 1. GIỚI THIỆU CHUNG i Nếu Hamiltonian H p là hàm lõm ngặt Báo cáo này sẽ nghiên cứu về bài toán H p trong n thỏa mãn lim và dữ Cauchy cho phương trình Hamilton-Jacobi p p trong trường hợp Hamiltonian và dữ kiện kiện ban đầu g x là hàm liên tục Lipschitz ban đầu là các hàm lõm-lồi từng phần. toàn cục trong n thì hàm Kết quả đạt được trong báo cáo này là với x y những giả thiết được đặt ra tác giả sẽ thiết u t x sup g y tH 3 lập được công thức nghiệm dạng y n t Hopf Lax cho nghiệm toàn cục Lipschitz là một nghiệm toàn cục Lipschitz của bài của bài toán. toán 1 2 . ii Nếu Hamiltonian H p là hàm lồi ngặt 2. NỘI DUNG BÁO CÁO H p . Đặt vấn đề trong n thỏa mãn lim và dữ p p Xét bài toán Cauchy cho phương trình kiện ban đầu g x là hàm liên tục Lipschitz Hamilton-Jacobi toàn cục trong n thì hàm n ut H ux 0 t x Ω 0 T 1 x y u 0 x g x x n u t x infn g y tH 4 2 y t ở đây Hamiltonian H H p và dữ kiện là một nghiệm toàn cục Lipschitz của bài ban đầu g g x đã được cho trước ký hiệu toán 1 2 . Lip Ω là tập tất cả các hàm liên tục iii Nếu Hamiltonian H p là hàm liên tục Lipschitz địa phương trong Ω . dữ kiện ban đầu g x là hàm lồi và liên tục Định nghĩa 1. 4 . Hàm Lipschitz toàn cục trong n thì hàm u t x Lip Ω trong đó Ω 0 T n u t x sup x y g y tH y y n được gọi là một nghiệm toàn cục Lipschitz của bài toán 1 - 2 nếu u t x thỏa mãn 1 là một nghiệm toàn cục Lipschitz của bài hầu khắp nơi trong Ω và u 0 x g x toán 1 2 . iv Nếu Hamiltonian H p là hàm liên tục với x n . dữ kiện ban đầu g x là hàm lõm và liên tục Trong bài báo 1 của mình năm 1965 E. Hopf đã chứng minh được các kết Lipschitz toàn cục trong n thì hàm quả sau u t x infn x y g y tH y y 171 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019. ISBN 978-604-82-2981-8 là một nghiệm toàn cục Lipschitz của bài Định lý. Giả thiết rằng .
