Phần 2 của bài giảng "Giải tích III (2019)" tiếp tục cung cấp cho học viên những nội dung về: phương trình vi phân; phương trình vi phân cấp một; phương trình vi phân cấp hai; đại cương về hệ phương trình vi phân cấp một; phương pháp toán tử Laplace; đạo hàm, tích phân và tích các phép biến đổi; . Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết! | CHƯƠNG 2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 11 LT 12 BT Để miêu tả các quá trình trong tự nhiên người ta thường diễn đạt chúng dưới các dạng các mô hình toán học cho dù là dưới dạng trực giác hay là dưới dạng các định luật vật lý dựa trên các nghiên cứu thực nghiệm. Các mô hình toán học này thường được biểu diễn dưới dạng các phương trình vi phân các phương trình chứa một ẩn hàm và các đạo hàm của nó. Điều này có lẽ không gây ngạc nhiên bởi vì trong thực tế chúng ta thường bắt gặp rất nhiều các quá trình có quot sự thay đổi quot mà sự thay đổi giá trị của một đại lượng nào đó tại một thời điểm t thì chính là đạo hàm của đại lượng đó tại t. Chẳng hạn như vận tốc chính là đạo hàm của hàm khoảng cách và gia tốc thì chính là đạo hàm của hàm vận tốc. Ngoài ra chúng ta cũng muốn dự báo giá trị tương lai dựa trên sự thay đổi của các giá trị hiện tại. Chúng ta sẽ bắt đầu bằng một vài ví dụ đơn giản dưới đây. Mô hình tăng trưởng dân số. Một mô hình đơn giản nhất cho sự tăng trưởng dân số là dựa vào giả thiết rằng dân số tăng với tốc độ tỉ lệ với độ lớn của nó. Tất nhiên giả thiết này chỉ đạt được với điều kiện lý tưởng đó là môi trường sống thuận lợi đầy đủ thức ăn không có dịch bệnh . Trong mô hình này t thời gian biến độc lập P Số lượng cá thể biến phụ thuộc Tốc độ tăng trưởng dân số chính là đạo hàm của P theo t dP dt. Do đó giả thiết rằng dân số tăng với tốc độ tỉ lệ với độ lớn của nó có thể được viết dưới dạng phương trình sau đây dP kP dt ở đó k là tỉ lệ tăng dân số là một hằng số. Phương trình là phương trình dạng đơn giản nhất cho mô hình tăng trưởng dân số. Nó là một phương trình vi phân vì nó chứa một ẩn hàm P và đạo hàm của nó dP dt. 93 94 Chương 2. Phương trình vi phân 11 LT 12 BT Ví dụ . Theo số liệu tại vào giữa năm 1999 số dân toàn thế giới đạt tới 6 tỉ người và đang tăng thêm khoảng 212 ngàn người mỗi ngày. Giả sử là mức tăng dân số tự nhiên tiếp tục với tỷ lệ này hỏi rằng a Tỷ lệ tăng k hàng năm là bao nhiêu b Vào giữa thế kỉ 21 dân số toàn thế
