Ôn tập cùng "Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2021-2022 có đáp án - Sở GD&ĐT Long An" được chia sẻ sau đây sẽ giúp các em hệ thống được kiến thức môn học một cách nhanh nhất và hiệu quả nhất, đồng thời, phương pháp học này cũng giúp các em được làm quen với cấu trúc đề thi trước khi bước vào kì thi chính thức. Cùng tham khảo đề thi ngay các em nhé! | SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 LONG AN NĂM HỌC 2021 2022 MÔN THI TOÁN Thời gian 90 phút Không kể thời gian phát đề Câu 1. HSG-LONG AN 2021-2022 Giải hệ phương trình sau trên tập số thực x x 2 1 y y 2 1 1 2 x y xy 1 2 2 . Lời giải Điều kiện y 2 1 . Ta có x x 2 1 y y 2 1 x y y 2 1 x 2 1 Bình phương hai vế phương trình trên ta được phương trình hệ quả x 2 2 xy y 2 y 2 1 x 2 1 2 x 2 1 y 2 1 xy x 2 1 y 2 1 . Tiếp tục bình phương hai vế ta được x 2 y 2 x 2 y 2 x 2 y 2 1 y 2 x 2 1 3 . Kết hợp 3 với 2 ta có x 0 y 2 x 2 x 2 y 2 xy 2 x 2 xy 0 x 2 x y 0 . y 2x Với x 0 thế vào 2 ta được y 1 thử lại phương trình ta chỉ nhận nghiệm y 1. Với y 2 x thế vào 2 ta được 1 3 2 3 x 2 4 x 2 22 2 1 x 2 x y thỏa mãn . 3 3 3 3 2 3 3 2 3 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm 0 1 . 3 3 3 3 2x 1 Câu 2. HSG-LONG AN 2021-2022 a Cho hàm số y có đồ thị H và đường thẳng x 1 d y m2 1 x 2 với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để d cắt H tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 x2 sao cho biểu thức P 12 x1 x2 11x1 x2 đạt giá trị lớn nhất. Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị H và đường thẳng d là 2x 1 2 x 1 m 2 1 x 2 x 1 m 2 1 x 2 x 1 x 1 m 1 x m 5 x 1 0 m 1 x m 5 x 1 0 2 2 2 2 2 2 . x 1 3 0 Do vậy đường thẳng d cắt đồ thị H tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình có hai nghiệm 4 m 2 1 0 m 4 6m 2 21 0 m . 2 phân biệt m 2 5 m2 5 x x 1 2 m 2 1 Theo định lý Viét ta có . x x 1 1 2 m2 1 12 m 2 5 11 12m2 71 59 Khi đó P 12 2 . m2 1 m 1 2 m 1 2 m 1 1 59 Do m 1 1 1 . Suy ra P 12 2 71 . 2 m 1 2 m 1 Dấu xảy ra khi và chỉ khi m 0 . Vậy m 0 thì biểu thức P đạt giá trị lớn nhất bằng 71 . Câu 2. HSG-LONG AN 2021-2022 b Cho hàm số y 2 x 2 m x 2 4 x 5 với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có cực tiểu Lời giải Hàm số xác định trên . Đạo hàm x 2 2 x2 4x 5 m x 2 y 2 m . x2 4x 5 x2 4x 5 Hàm số có cực tiểu khi và chỉ khi y 0 có nghiệm và đổi dấu từ âm sang dương qua nghiệm đó. Ta có 2 x2 4x 5 y 0 2 x2 4x 5 m x 2 0 m vì x 2
