Tài liệu "Những định lý hình học nổi tiếng" trình bày những định lý hình học nổi tiếng như: đường thẳng Euler, đường thẳng Simmon, đường tròn Miquel, định lý Miquel, . Thông qua tài liệu này, hi vọng các em sẽ nắm vững được nội dung bài học và nâng cao khả năng toán học của mình nhé. | NHỮNG ĐỊNH LÝ HÌNH HỌC NỔI TIẾNG 1. Đường thẳng Euler 1. Đường thẳng Euler . Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng trọng tâm G trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O cùng nằm trên một đường thẳng. Hơn nữa GH 2 . Đường thẳng nối H G O gọi là đường thẳng Euler của tam giác ABC . GO Chứng minh A A H G H O O E G B C M B C H D Cách 1 Gọi E F lần lượt là trung điểm của BC AC . Ta có EF là đường trung bình của tam giác ABC nên EF AB . Ta lại có OF BH cùng vuông góc với AC . Do đó OFE ABH góc có cạnh tương ứng song song . Chứng minh tương tự OEF BAH . AH AB Từ đó có ABH EFO 2 do EF là đường OE EF trung bình của tam giác ABC . Mặt khác G là trọng tâm của tam giác AG AG AH ABC nên 2 . Do đó 2 lại có HAG OEG so le GE FG OE trong OE AH HAG EOG HGA EGO . Do EGO AGO 1800 nên HGA AGO 1800 hay HGO 1800 . Vậy H G O thẳng hàng. Cách 2 Kẻ đường kính AD của đường tròn O ta có BH AC Tính chất trực tâm AC CD Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn suy ra BH CD . Tương tự ta cũng có CH BD nên tứ giác BHCD là hình bình hành do đó HD cắt BC tại trung điểm của mỗi đường. Từ đó cũng suy 1 ra OM AH Tính chất đường trung bình tam giác ADH . Nối 2 GO OM 1 AM cắt HO tại G thì nên G là trọng tâm của tam giác GH AH 2 ABC . Cách 3 sử dụng định lý Thales Trên tia đối GO lấy H sao cho GH 2GO . Gọi M là trung điểm BC . Theo tính chất trọng A tâm thì G thuộc AM và GA 2GM . Áp dụng định lý Thales H H vào tam giác GOM dễ suy ra G O AH OM 1 .Mặt khác do O B C M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC M là trung điểm BC nên OM BC 2 . Từ 1 và 2 suy ra AH BC tương tự BH CA . Vậy H H là trực tâm tam giác ABC . Theo cách dựng H ta có ngay kết luận bài toán. Chú ý rằng Nếu ta kéo dài AH cắt đường tròn tại H thì AH D 900 Góc nội tiếp chắn nữa đường tròn nên EM là đường trung bình của tam giác HH D suy ra H đối xứng với H qua BC . Nếu gọi O là tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác HBC thì ta có O đối xứng với O qua BC . Đường thẳng đi qua H G O được gọi là đường thẳng Euler của tam giác ABC .
